Calcolo Esempi

$y = x^{4} + 8 e^{x}$ , $(0, 8)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = 8$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 8 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 e^{x}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$4 x^{3} + 8 e^{x}$

Passaggio 1.3

Calcola la derivata per $x = 0$ .

$4 {(0)}^{3} + 8 e^{0}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 \cdot 0 + 8 e^{0}$

Passaggio 1.4.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 + 8 e^{0}$

Passaggio 1.4.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 8 \cdot 1$

Passaggio 1.4.1.4

Moltiplica $8$ per $1$ .

$0 + 8$

Passaggio 1.4.2

Somma $0$ e $8$ .

$8$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $8$ e un punto dato $(0, 8)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = 8 \cdot (x - (0))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 8 = 8 \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Somma $x$ e $0$ .

$y - 8 = 8 x$

Passaggio 2.3.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 8 x + 8$

Passaggio 3