Calcolo Esempi

$f (x) = - 2 - \cos (x)$ at $x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $- \frac{π}{4}$ a $x$ .

$y = - 2 - \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - 2 - \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$y = - 2 - \cos (\frac{7 π}{4})$

Passaggio 1.2.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$y = - 2 - \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 1.2.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = - \frac{π}{4}$ e $y = - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$0 + \sin (x)$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Passaggio 2.4

Calcola la derivata per $x = - \frac{π}{4}$ .

$\sin (- \frac{π}{4})$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\sin (\frac{7 π}{4})$

Passaggio 2.5.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- \sin (\frac{π}{4})$

Passaggio 2.5.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ e un punto dato $(- \frac{π}{4}, - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Semplifica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 + 0 - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$

Passaggio 3.3.1.4

$x$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.1.5.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} - 2$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $\frac{\sqrt{2}}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} - 2 \cdot \frac{8}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.3.3.2

$- 2$ e $\frac{8}{8}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 2 \cdot 8}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.3.3.4

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.3.3.5

Per scrivere $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 3.3.3.6

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.6.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.6.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Passaggio 3.3.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16 - \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Passaggio 3.3.3.8

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16 - 4 \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 3.3.3.9

Scomponi $- 1$ da $- π \sqrt{2}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2}) - 16 - 4 \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 3.3.3.10

Riscrivi $- 16$ come $- 1 (16)$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2}) - 1 (16) - 4 \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 3.3.3.11

Scomponi $- 1$ da $- (π \sqrt{2}) - 1 (16)$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2} + 16) - 4 \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 3.3.3.12

Scomponi $- 1$ da $- 4 \sqrt{2}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2} + 16) - (4 \sqrt{2})}{8}$

Passaggio 3.3.3.13

Scomponi $- 1$ da $- (π \sqrt{2} + 16) - (4 \sqrt{2})$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})}{8}$

Passaggio 3.3.3.14

Riscrivi $- (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})$ come $- 1 (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- 1 (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})}{8}$

Passaggio 3.3.3.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 3.3.3.16

Riordina i termini.

$y = - (\frac{\sqrt{2}}{2} x) - \frac{π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 3.3.3.17

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 4