Calcolo Esempi

$y = \frac{- 8 x}{x^{2} + 1}$ at the origin and at the point $(1, - 4)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = - 4$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d}{d x} [- \frac{8 x}{x^{2} + 1}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{8 x}{x^{2} + 1}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$- 8 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 8 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $x^{2} + 1$ per $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.7

Somma $1$ e $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.8

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$- 8 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.9

$- 8$ e $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 8 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.11

Semplifica.

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Passaggio 1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{8 (- x^{2}) + 8 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.11.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.11.2.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- \frac{- 8 x^{2} + 8 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.11.2.2

Moltiplica $8$ per $1$ .

$- \frac{- 8 x^{2} + 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.12

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$- \frac{- 8 {(1)}^{2} + 8}{{({(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.13

Semplifica.

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Passaggio 1.13.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.13.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{- 8 \cdot 1 + 8}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.13.1.2

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$- \frac{- 8 + 8}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.13.1.3

Somma $- 8$ e $8$ .

$- \frac{0}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.13.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.13.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{0}{{(1 + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.13.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{0}{2^{2}}$

Passaggio 1.13.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{0}{4}$

Passaggio 1.13.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.13.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$- 0$

Passaggio 1.13.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $0$ e un punto dato $(1, - 4)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 4) = 0 \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 4 = 0 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $0$ per $x - 1$ .

$y + 4 = 0$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 4$

Passaggio 3