Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{3 x^{3}}$ , $(2, \frac{1}{24})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = \frac{1}{24}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3 x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Passaggio 1.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{- 4})$

Passaggio 1.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.4.1

$- 3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} x^{- 4}$

Passaggio 1.4.2

$\frac{- 3}{3}$ e $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{3}$

Passaggio 1.4.3

Sposta $x^{- 4}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{3 x^{4}}$

Passaggio 1.4.4

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

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Passaggio 1.4.4.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 x^{4}}$

Passaggio 1.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.4.4.2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{4}$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{4})}$

Passaggio 1.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 x^{4}}$

Passaggio 1.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{x^{4}}$

Passaggio 1.4.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 1.5

Calcola la derivata per $x = 2$ .

$- \frac{1}{{(2)}^{4}}$

Passaggio 1.6

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$- \frac{1}{16}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{1}{16}$ e un punto dato $(2, \frac{1}{24})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{24}) = - \frac{1}{16} \cdot (x - (2))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{1}{24} = - \frac{1}{16} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{1}{16} \cdot (x - 2)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - \frac{1}{24} = 0 + 0 - \frac{1}{16} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - \frac{1}{24} = - \frac{1}{16} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{1}{24} = - \frac{1}{16} x - \frac{1}{16} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.4

$x$ e $\frac{1}{16}$ .

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{16}$ nel numeratore.

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{16} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.5.2

Scomponi $2$ da $16$ .

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{2 (8)} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.5.3

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{2 \cdot 8} \cdot (2 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.4

Elimina il fattore comune.

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{2 \cdot 8} \cdot (2 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.5

Riscrivi l'espressione.

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{8} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.6

$\frac{- 1}{8}$ e $- 1$ .

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- - 1}{8}$

Passaggio 2.3.1.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{1}{8}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $\frac{1}{24}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{1}{8} + \frac{1}{24}$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $\frac{1}{8}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{16} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{24}$

Passaggio 2.3.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $24$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{8}$ per $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{16} + \frac{3}{8 \cdot 3} + \frac{1}{24}$

Passaggio 2.3.2.3.2

Moltiplica $8$ per $3$ .

$y = - \frac{x}{16} + \frac{3}{24} + \frac{1}{24}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{3 + 1}{24}$

Passaggio 2.3.2.5

Somma $3$ e $1$ .

$y = - \frac{x}{16} + \frac{4}{24}$

Passaggio 2.3.2.6

Elimina il fattore comune di $4$ e $24$ .

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Passaggio 2.3.2.6.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$y = - \frac{x}{16} + \frac{4 (1)}{24}$

Passaggio 2.3.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.6.2.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$y = - \frac{x}{16} + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}$

Passaggio 2.3.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}$

Passaggio 2.3.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{1}{6}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{1}{16} x) + \frac{1}{6}$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{1}{16} x + \frac{1}{6}$

Passaggio 3