Calcolo Esempi

$f (x) = x {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ ; $x = 2$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$y = (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 2 {(2^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica $(2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = 2 {(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$y = 2 {(4 - 8 + 5)}^{8}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Sottrai $8$ da $4$ .

$y = 2 {(- 4 + 5)}^{8}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Somma $- 4$ e $5$ .

$y = 2 \cdot 1^{8}$

Passaggio 1.2.3.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = 2 \cdot 1$

Passaggio 1.2.3.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = 2$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = 2$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}] + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{8}$ e $g (x) = x^{2} - 4 x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 4 x + 5$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 8$ .

$x (8 u^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 4 x + 5$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.6

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 + 0)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.7

Somma $2 x - 4$ e $0$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \cdot 1$

Passaggio 2.3.9

Moltiplica ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ per $1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$

Passaggio 2.4

Scomponi ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ da $x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ .

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Passaggio 2.4.1

Scomponi ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ da $x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4))$ .

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$

Passaggio 2.4.2

Scomponi ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ da ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ .

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x^{2} - 4 x + 5)$

Passaggio 2.4.3

Scomponi ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ da ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x^{2} - 4 x + 5)$ .

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4)) + x^{2} - 4 x + 5)$

Passaggio 2.5

Calcola la derivata per $x = 2$ .

${({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

${(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

${(4 - 8 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Passaggio 2.6.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Sottrai $8$ da $4$ .

${(- 4 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Passaggio 2.6.2.2

Somma $- 4$ e $5$ .

$1^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Passaggio 2.6.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Passaggio 2.6.2.4

Moltiplica $(2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$ per $1$ .

$(2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Passaggio 2.6.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 (8 (4 - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Passaggio 2.6.3.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$2 (8 \cdot 0) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Passaggio 2.6.3.3

Moltiplica $2 (8 \cdot 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.3.1

Moltiplica $8$ per $0$ .

$2 \cdot 0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Passaggio 2.6.3.3.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Passaggio 2.6.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$0 + 4 - 4 \cdot 2 + 5$

Passaggio 2.6.3.5

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$0 + 4 - 8 + 5$

Passaggio 2.6.4

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1

Somma $0$ e $4$ .

$4 - 8 + 5$

Passaggio 2.6.4.2

Sottrai $8$ da $4$ .

$- 4 + 5$

Passaggio 2.6.4.3

Somma $- 4$ e $5$ .

$1$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $1$ e un punto dato $(2, 2)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 1 \cdot (x - (2))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 2 = 1 \cdot (x - 2)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $x - 2$ per $1$ .

$y - 2 = x - 2$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = x - 2 + 2$

Passaggio 3.3.2.2

Combina i termini opposti in $x - 2 + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$y = x + 0$

Passaggio 3.3.2.2.2

Somma $x$ e $0$ .

$y = x$

Passaggio 4