Calcolo Esempi

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{1 + x^{2}}$ come un'equazione.

$y = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = \frac{1}{2}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\frac{1}{1 + x^{2}}$ come ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x^{2}$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 2.3

Differenzia.

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Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.4.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Passaggio 2.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Passaggio 2.4.2.3

$x$ e $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$- \frac{2 (1)}{{(1 + {(1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

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Passaggio 2.6.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \frac{2}{{(1 + 1^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.6.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{2}{{(1 + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{2}{2^{2}}$

Passaggio 2.6.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{2}{4}$

Passaggio 2.6.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{2 (1)}{4}$

Passaggio 2.6.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.6.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.6.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{1}{2}$ e un punto dato $(1, \frac{1}{2})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $- \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.4

$x$ e $\frac{1}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.3.1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $\frac{1}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 3.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- x + 1 + 1}{2}$

Passaggio 3.3.2.3

Somma $1$ e $1$ .

$y = \frac{- x + 2}{2}$

Passaggio 3.3.2.4

Dividi la frazione $\frac{- x + 2}{2}$ in due frazioni.

$y = \frac{- x}{2} + \frac{2}{2}$

Passaggio 3.3.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{2}{2}$

Passaggio 3.3.2.5.2

Dividi $2$ per $2$ .

$y = - \frac{x}{2} + 1$

Passaggio 3.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 3.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 1$

Passaggio 3.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{1}{2} x + 1$

Passaggio 4