Calcolo Esempi

Given: $x^{2} = y^{4}$ Find the equation of the tangent line at $(9, 3)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 9$ e $y = 3$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (y^{4})$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 y^{3} y'$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 x = 4 y^{3} y'$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 1.5.1

Riscrivi l'equazione come $4 y^{3} y' = 2 x$ .

$4 y^{3} y' = 2 x$

Passaggio 1.5.2

Dividi per $4 y^{3}$ ciascun termine in $4 y^{3} y' = 2 x$ e semplifica.

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Passaggio 1.5.2.1

Dividi per $4 y^{3}$ ciascun termine in $4 y^{3} y' = 2 x$ .

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Passaggio 1.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Passaggio 1.5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Passaggio 1.5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Passaggio 1.5.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Passaggio 1.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$y' = \frac{2 (x)}{4 y^{3}}$

Passaggio 1.5.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $4 y^{3}$ .

$y' = \frac{2 (x)}{2 (2 y^{3})}$

Passaggio 1.5.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 x}{2 (2 y^{3})}$

Passaggio 1.5.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{x}{2 y^{3}}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y^{3}}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 9$ e $y = 3$ .

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Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $9$ nell'espressione.

$\frac{9}{2 y^{3}}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $3$ nell'espressione.

$\frac{9}{2 {(3)}^{3}}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.7.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{9}{2 \cdot 27}$

Passaggio 1.7.3.2

Moltiplica $2$ per $27$ .

$\frac{9}{54}$

Passaggio 1.7.4

Elimina il fattore comune di $9$ e $54$ .

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Passaggio 1.7.4.1

Scomponi $9$ da $9$ .

$\frac{9 (1)}{54}$

Passaggio 1.7.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.2.1

Scomponi $9$ da $54$ .

$\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 6}$

Passaggio 1.7.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 6}$

Passaggio 1.7.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{6}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{1}{6}$ e un punto dato $(9, 3)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{6} \cdot (x - (9))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{1}{6} \cdot (x - 9)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 3 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{1}{6}$ e $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Passaggio 2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.3.1.5.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

Passaggio 2.3.1.5.2

Scomponi $3$ da $- 9$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Passaggio 2.3.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Passaggio 2.3.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.6

$\frac{1}{2}$ e $- 3$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

Passaggio 2.3.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - 3 = \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 2.3.2.3

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 6}{2}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Somma $- 3$ e $6$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$

Passaggio 3