Calcolo Esempi

$f (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- 1}$ at the point $(4, \frac{5}{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 4$ e $y = \frac{5}{2}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.2.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 2})$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x^{- 2}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{- 2}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.3.2

$- 2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.4

Riordina i termini.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.5

Calcola la derivata per $x = 4$ .

$- \frac{2}{{(4)}^{2}} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{2}{16} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.6.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{2 (1)}{16} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.6.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.6.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.6.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.6.1.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.6.1.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 1.6.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 1.6.1.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

Passaggio 1.6.1.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2^{1 + 1}}$

Passaggio 1.6.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2^{2}}$

Passaggio 1.6.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{4}$

Passaggio 1.6.2

Per scrivere $\frac{1}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 1.6.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{2}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.6.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{2}{8}$

Passaggio 1.6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 + 2}{8}$

Passaggio 1.6.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{1}{8}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{1}{8}$ e un punto dato $(4, \frac{5}{2})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{5}{2}) = \frac{1}{8} \cdot (x - (4))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{1}{8} \cdot (x - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - \frac{5}{2} = 0 + 0 + \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{1}{8}$ e $x$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 (2)} \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.5.2

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.6

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $\frac{5}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{x}{8} - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}$

Passaggio 2.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 1 + 5}{2}$

Passaggio 2.3.2.3

Somma $- 1$ e $5$ .

$y = \frac{x}{8} + \frac{4}{2}$

Passaggio 2.3.2.4

Dividi $4$ per $2$ .

$y = \frac{x}{8} + 2$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{8} x + 2$

Passaggio 3