Calcolo Esempi

$g (x) = 3 e^{- 5 x}$ at the point $(0, 3)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = 3$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{- 5 x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 5 x$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 5 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 5 x$ .

$3 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$- 15 e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 15 e^{- 5 x} \cdot 1$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $- 15$ per $1$ .

$- 15 e^{- 5 x}$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = 0$ .

$- 15 e^{- 5 \cdot 0}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$- 15 e^{0}$

Passaggio 1.5.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- 15 \cdot 1$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $- 15$ per $1$ .

$- 15$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 15$ e un punto dato $(0, 3)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - 15 \cdot (x - (0))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 3 = - 15 \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Somma $x$ e $0$ .

$y - 3 = - 15 x$

Passaggio 2.3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 15 x + 3$

Passaggio 3