Calcolo Esempi

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 100 x y^{2}$ ; $(3, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 3$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (100 x y^{2})$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2} + y^{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$3 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 1.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 1.2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 1.2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Passaggio 1.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Passaggio 1.2.6.2

Riordina i fattori di $(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $100$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $100 x y^{2}$ rispetto a $x$ è $100 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$100 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$100 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$100 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$100 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$100 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$100 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$100 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$100 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$100 (2 x y y' + y^{2})$

Passaggio 1.3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$100 (2 x y y') + 100 y^{2}$

Passaggio 1.3.8.2

Moltiplica $2$ per $100$ .

$200 x y y' + 100 y^{2}$

Passaggio 1.3.8.3

Riordina i termini.

$100 y^{2} + 200 x y y'$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Passaggio 1.5.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Passaggio 1.5.1.3

Espandi $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (6 x^{2} + 6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Passaggio 1.5.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Passaggio 1.5.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Passaggio 1.5.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot 6 x \cdot x^{2} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Passaggio 1.5.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 \cdot 6 (x^{2} x) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Passaggio 1.5.1.4.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \cdot 6 (x^{2} x^{1}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Passaggio 1.5.1.4.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \cdot 6 x^{2 + 1} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Passaggio 1.5.1.4.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 \cdot 6 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Passaggio 1.5.1.4.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$12 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Passaggio 1.5.1.4.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$12 x^{3} + 2 \cdot 6 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Passaggio 1.5.1.4.5

Moltiplica $2$ per $6$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Passaggio 1.5.1.4.6

Moltiplica $6$ per $2$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Passaggio 1.5.1.4.7

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.7.1

Sposta $y^{2}$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 6 = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Passaggio 1.5.1.4.7.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.7.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 6 = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Passaggio 1.5.1.4.7.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 6 = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Passaggio 1.5.1.4.7.3

Somma $2$ e $1$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 6 = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Passaggio 1.5.1.4.8

Moltiplica $6$ per $2$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $200 x y y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 200 x y y' = 100 y^{2}$

Passaggio 1.5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sottrai $12 x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 200 x y y' = 100 y^{2} - 12 x^{3}$

Passaggio 1.5.3.2

Sottrai $12 x y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 200 x y y' = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Passaggio 1.5.4

Scomponi $4 y y'$ da $12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 200 x y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Scomponi $4 y y'$ da $12 y y' x^{2}$ .

$4 y y' (3 x^{2}) + 12 y^{3} y' - 200 x y y' = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Passaggio 1.5.4.2

Scomponi $4 y y'$ da $12 y^{3} y'$ .

$4 y y' (3 x^{2}) + 4 y y' (3 y^{2}) - 200 x y y' = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Passaggio 1.5.4.3

Scomponi $4 y y'$ da $- 200 x y y'$ .

$4 y y' (3 x^{2}) + 4 y y' (3 y^{2}) + 4 y y' (- 50 x) = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Passaggio 1.5.4.4

Scomponi $4 y y'$ da $4 y y' (3 x^{2}) + 4 y y' (3 y^{2})$ .

$4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2}) + 4 y y' (- 50 x) = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Passaggio 1.5.4.5

Scomponi $4 y y'$ da $4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2}) + 4 y y' (- 50 x)$ .

$4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dividi per $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ ciascun termine in $4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Dividi per $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ ciascun termine in $4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ .

$\frac{4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} = \frac{100 y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Passaggio 1.5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.5.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} = \frac{100 y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Passaggio 1.5.5.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.5.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} = \frac{100 y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Passaggio 1.5.5.2.3

Elimina il fattore comune di $3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.2.3.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.5.5.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{100 y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Passaggio 1.5.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $100$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.1.1

Scomponi $4$ da $100 y^{2}$ .

$y' = \frac{4 (25 y^{2})}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.1.2.1

Scomponi $4$ da $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ .

$y' = \frac{4 (25 y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{4 (25 y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{25 y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.2.1

Scomponi $y$ da $25 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (25 y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y (25 y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.3

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.3.1

Scomponi $4$ da $- 12 x^{3}$ .

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.3.2.1

Scomponi $4$ da $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ .

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} + \frac{- 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.5

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.5.1

Scomponi $4$ da $- 12 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.5.2.1

Scomponi $4$ da $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ .

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))}$

Passaggio 1.5.5.3.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))}$

Passaggio 1.5.5.3.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.6

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.6.1

Scomponi $y$ da $- 3 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{y (- 3 x y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{y (- 3 x y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

Passaggio 1.5.5.3.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

Passaggio 1.5.5.3.2

Per scrivere $\frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

Passaggio 1.5.5.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) y$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.3.1

Moltiplica $\frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$ per $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{25 y \cdot y}{(3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) y} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

Passaggio 1.5.5.3.3.2

Riordina i fattori di $(3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) y$ .

$y' = \frac{25 y \cdot y}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

Passaggio 1.5.5.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{25 y \cdot y - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

Passaggio 1.5.5.3.5

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.5.1

Sposta $y$ .

$y' = \frac{25 (y \cdot y) - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

Passaggio 1.5.5.3.5.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

Passaggio 1.5.5.3.6

Per scrivere $- \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} \cdot \frac{y}{y}$

Passaggio 1.5.5.3.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.7.1

Moltiplica $\frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$ per $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y \cdot y}{(3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) y}$

Passaggio 1.5.5.3.7.2

Riordina i fattori di $(3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) y$ .

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y \cdot y}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Passaggio 1.5.5.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3} - 3 x y \cdot y}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Passaggio 1.5.5.3.9

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.9.1

Sposta $y$ .

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3} - 3 x (y \cdot y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Passaggio 1.5.5.3.9.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 3$ e $y = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$\frac{25 y^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot y^{2}}{y (3 {(3)}^{2} + 3 y^{2} - 50 \cdot 3)}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $1$ nell'espressione.

$\frac{25 {(1)}^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot {(1)}^{2}}{(1) (3 {(3)}^{2} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3)}$

Passaggio 1.7.3

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$\frac{25 {(1)}^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot {(1)}^{2}}{1 (3^{1} {(3)}^{2} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3)}$

Passaggio 1.7.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{25 {(1)}^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot {(1)}^{2}}{1 (3^{1 + 2} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3)}$

Passaggio 1.7.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{25 {(1)}^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot {(1)}^{2}}{1 (3^{3} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3)}$

Passaggio 1.7.4

Moltiplica $3^{3} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3$ per $1$ .

$\frac{25 {(1)}^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot {(1)}^{2}}{3^{3} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3}$

Passaggio 1.7.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{25 \cdot 1 - 3 \cdot 3^{3} - 3 \cdot 3 \cdot 1^{2}}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Passaggio 1.7.5.2

Moltiplica $25$ per $1$ .

$\frac{25 - 3 \cdot 3^{3} - 3 \cdot 3 \cdot 1^{2}}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Passaggio 1.7.5.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{25 - 3 \cdot 27 - 3 \cdot 3 \cdot 1^{2}}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Passaggio 1.7.5.4

Moltiplica $- 3$ per $27$ .

$\frac{25 - 81 - 3 \cdot 3 \cdot 1^{2}}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Passaggio 1.7.5.5

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$\frac{25 - 81 - 9 \cdot 1^{2}}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Passaggio 1.7.5.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{25 - 81 - 9 \cdot 1}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Passaggio 1.7.5.7

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$\frac{25 - 81 - 9}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Passaggio 1.7.5.8

Sottrai $81$ da $25$ .

$\frac{- 56 - 9}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Passaggio 1.7.5.9

Sottrai $9$ da $- 56$ .

$\frac{- 65}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Passaggio 1.7.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{- 65}{27 + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Passaggio 1.7.6.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{- 65}{27 + 3 \cdot 1 - 50 \cdot 3}$

Passaggio 1.7.6.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{- 65}{27 + 3 - 50 \cdot 3}$

Passaggio 1.7.6.4

Moltiplica $- 50$ per $3$ .

$\frac{- 65}{27 + 3 - 150}$

Passaggio 1.7.6.5

Somma $27$ e $3$ .

$\frac{- 65}{30 - 150}$

Passaggio 1.7.6.6

Sottrai $150$ da $30$ .

$\frac{- 65}{- 120}$

Passaggio 1.7.7

Elimina il fattore comune di $- 65$ e $- 120$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.7.1

Scomponi $- 5$ da $- 65$ .

$\frac{- 5 (13)}{- 120}$

Passaggio 1.7.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.7.2.1

Scomponi $- 5$ da $- 120$ .

$\frac{- 5 \cdot 13}{- 5 \cdot 24}$

Passaggio 1.7.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 5 \cdot 13}{- 5 \cdot 24}$

Passaggio 1.7.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{13}{24}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{13}{24}$ e un punto dato $(3, 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = \frac{13}{24} \cdot (x - (3))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 1 = \frac{13}{24} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{13}{24} \cdot (x - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{13}{24} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 = \frac{13}{24} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = \frac{13}{24} x + \frac{13}{24} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{13}{24}$ e $x$ .

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13}{24} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Scomponi $3$ da $24$ .

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13}{3 (8)} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.5.2

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13}{3 \cdot 8} \cdot (3 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13}{3 \cdot 8} \cdot (3 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13}{8} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.6

$\frac{13}{8}$ e $- 1$ .

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13 \cdot - 1}{8}$

Passaggio 2.3.1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.7.1

Moltiplica $13$ per $- 1$ .

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{- 13}{8}$

Passaggio 2.3.1.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - 1 = \frac{13 x}{24} - \frac{13}{8}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{13 x}{24} - \frac{13}{8} + 1$

Passaggio 2.3.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = \frac{13 x}{24} - \frac{13}{8} + \frac{8}{8}$

Passaggio 2.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{13 x}{24} + \frac{- 13 + 8}{8}$

Passaggio 2.3.2.4

Somma $- 13$ e $8$ .

$y = \frac{13 x}{24} + \frac{- 5}{8}$

Passaggio 2.3.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{13 x}{24} - \frac{5}{8}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{13}{24} x - \frac{5}{8}$

Passaggio 3