Calcolo Esempi

$y = \sec (x)$ , $(\frac{π}{6}, 2 \frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = \frac{π}{6}$ e $y = 2 (\frac{\sqrt{3}}{3})$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Passaggio 1.2

Calcola la derivata per $x = \frac{π}{6}$ .

$\sec (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{6})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Il valore esatto di $\sec (\frac{π}{6})$ è $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Passaggio 1.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Passaggio 1.3.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Passaggio 1.3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \tan (\frac{π}{6})$

Passaggio 1.3.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \tan (\frac{π}{6})$

Passaggio 1.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \tan (\frac{π}{6})$

Passaggio 1.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 1.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \tan (\frac{π}{6})$

Passaggio 1.3.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \tan (\frac{π}{6})$

Passaggio 1.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{6})$

Passaggio 1.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{6})$

Passaggio 1.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} \tan (\frac{π}{6})$

Passaggio 1.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{6})$

Passaggio 1.3.4

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Passaggio 1.3.5.1

Moltiplica $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ per $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Passaggio 1.3.5.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}$

Passaggio 1.3.5.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{3 \cdot 3}$

Passaggio 1.3.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3}$

Passaggio 1.3.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3}$

Passaggio 1.3.5.6

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

Passaggio 1.3.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}$

Passaggio 1.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}$

Passaggio 1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Passaggio 1.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Passaggio 1.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \cdot 3^{1}}{9}$

Passaggio 1.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{2 \cdot 3}{9}$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6}{9}$

Passaggio 1.3.8

Elimina il fattore comune di $6$ e $9$ .

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Passaggio 1.3.8.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 (2)}{9}$

Passaggio 1.3.8.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.3.8.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Passaggio 1.3.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Passaggio 1.3.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{3}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{2}{3}$ e un punto dato $(\frac{π}{6}, 2 (\frac{\sqrt{3}}{3}))$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2 (\frac{\sqrt{3}}{3})) = \frac{2}{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} (- \frac{π}{6})$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{2}{3}$ e $x$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{π}{6})$

Passaggio 2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{6}$ nel numeratore.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{6}$

Passaggio 2.3.1.5.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{2 (3)}$

Passaggio 2.3.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- π}{3}$

Passaggio 2.3.1.6

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{- π}{3}$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- π}{3 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.1.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.1.7.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- π}{9}$

Passaggio 2.3.1.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9}$

Passaggio 2.3.2

Somma $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Per scrivere $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 2.3.3.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Passaggio 2.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- π + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Passaggio 2.3.3.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- π + 6 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 2.3.3.5

Scomponi $- 1$ da $- π$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π) + 6 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 2.3.3.6

Scomponi $- 1$ da $6 \sqrt{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π) - (- 6 \sqrt{3})}{9}$

Passaggio 2.3.3.7

Scomponi $- 1$ da $- (π) - (- 6 \sqrt{3})$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π - 6 \sqrt{3})}{9}$

Passaggio 2.3.3.8

Riscrivi $- (π - 6 \sqrt{3})$ come $- 1 (π - 6 \sqrt{3})$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 1 (π - 6 \sqrt{3})}{9}$

Passaggio 2.3.3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π - 6 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 2.3.3.10

Riordina i termini.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{π - 6 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 3