Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}} - x$ ; , $(- 1, 6)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = - 1$ e $y = 6$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2}}$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ come ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$5 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$5 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Passaggio 1.2.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.6.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Passaggio 1.2.6.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 2$ .

$5 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.6.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$5 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.8

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.10.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.12

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.13

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.14

Moltiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ per $x^{- \frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.14.1

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$5 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.14.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.14.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.14.4

Sottrai $1$ da $- 4$ .

$5 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.14.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.15

Sposta $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.16

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- 5 \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.17

$- 5$ e $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{- 5 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.18

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$\frac{- 10}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.19

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - 1$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$- 1 - \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.5

Calcola la derivata per $x = - 1$ .

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.6.1.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.6.1.1.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$- 1 - \frac{10}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.6.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 1.6.1.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.6.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 1.6.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{5}}$

Passaggio 1.6.1.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$- 1 - \frac{10}{3 \cdot - 1}$

Passaggio 1.6.1.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 1 - \frac{10}{- 3}$

Passaggio 1.6.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 1 - - \frac{10}{3}$

Passaggio 1.6.1.4

Moltiplica $- - \frac{10}{3}$ .

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Passaggio 1.6.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 1 + 1 (\frac{10}{3})$

Passaggio 1.6.1.4.2

Moltiplica $\frac{10}{3}$ per $1$ .

$- 1 + \frac{10}{3}$

Passaggio 1.6.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{10}{3}$

Passaggio 1.6.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{10}{3}$

Passaggio 1.6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 10}{3}$

Passaggio 1.6.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.6.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{- 3 + 10}{3}$

Passaggio 1.6.5.2

Somma $- 3$ e $10$ .

$\frac{7}{3}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{7}{3}$ e un punto dato $(- 1, 6)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{7}{3} \cdot (x - (- 1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 6 = \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{7}{3} \cdot (x + 1)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 6 = \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 6 = \frac{7}{3} x + \frac{7}{3} \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{7}{3}$ e $x$ .

$y - 6 = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $\frac{7}{3}$ per $1$ .

$y - 6 = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + 6$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + 6 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 2.3.2.3

$6$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7 + 6 \cdot 3}{3}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $6$ per $3$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7 + 18}{3}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Somma $7$ e $18$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{25}{3}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{7}{3} x + \frac{25}{3}$

Passaggio 3