Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{e^{x}}{x + 3}$ , $(0, \frac{1}{3})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = \frac{1}{3}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x e^{x} + 3 e^{x} - e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Sottrai $e^{x}$ da $3 e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.4.3

Riordina i termini.

$\frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.4.4

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

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Passaggio 1.4.4.1

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.4.4.2

Scomponi $e^{x}$ da $2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.4.4.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (x) + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{x} (x + 2)}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Calcola la derivata per $x = 0$ .

$\frac{e^{0} ((0) + 2)}{{((0) + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.6.1.1

Somma $0$ e $2$ .

$\frac{e^{0} \cdot 2}{{(0 + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.6.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1 \cdot 2}{{(0 + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.6.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2}{{(0 + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.6.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.6.2.1

Somma $0$ e $3$ .

$\frac{2}{3^{2}}$

Passaggio 1.6.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2}{9}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{2}{9}$ e un punto dato $(0, \frac{1}{3})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{3}) = \frac{2}{9} \cdot (x - (0))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{2}{9} \cdot (x + 0)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Somma $x$ e $0$ .

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot x$

Passaggio 2.3.1.2

$\frac{2}{9}$ e $x$ .

$y - \frac{1}{3} = \frac{2 x}{9}$

Passaggio 2.3.2

Somma $\frac{1}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{2 x}{9} + \frac{1}{3}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{2}{9} x + \frac{1}{3}$

Passaggio 3