Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{2 x^{3}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = \frac{1}{2}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2 x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Passaggio 1.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$\frac{1}{2} (- 3 x^{- 4})$

Passaggio 1.4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 1.4.1

$- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2} x^{- 4}$

Passaggio 1.4.2

$\frac{- 3}{2}$ e $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{2}$

Passaggio 1.4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.4.3.1

Sposta $x^{- 4}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{2 x^{4}}$

Passaggio 1.4.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{2 x^{4}}$

Passaggio 1.5

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$- \frac{3}{2 {(1)}^{4}}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.6.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{3}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \frac{3}{2}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{3}{2}$ e un punto dato $(1, \frac{1}{2})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{3}{2} \cdot (x - 1)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{3}{2} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.4

$x$ e $\frac{3}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $- \frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Passaggio 2.3.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 3}{2} + 1 (\frac{3}{2})$

Passaggio 2.3.1.5.2

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{3}{2}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $\frac{1}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- 3 x + 3 + 1}{2}$

Passaggio 2.3.2.3

Somma $3$ e $1$ .

$y = \frac{- 3 x + 4}{2}$

Passaggio 2.3.2.4

Dividi la frazione $\frac{- 3 x + 4}{2}$ in due frazioni.

$y = \frac{- 3 x}{2} + \frac{4}{2}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.2.5.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{4}{2}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Dividi $4$ per $2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 2$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{3}{2} x) + 2$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{3}{2} x + 2$

Passaggio 3