Calcolo Esempi

$y = e^{3 x}$ , $(0, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{3 x} (3 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$e^{3 x} \cdot 3$

Passaggio 1.2.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$3 e^{3 x}$

Passaggio 1.3

Calcola la derivata per $x = 0$ .

$3 e^{3 (0)}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$3 e^{0}$

Passaggio 1.4.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $3$ e un punto dato $(0, 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 3 \cdot (x - (0))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 1 = 3 \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Somma $x$ e $0$ .

$y - 1 = 3 x$

Passaggio 2.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 3 x + 1$

Passaggio 3