Calcolo Esempi

$x^{2} y^{3} = y^{2} - 2$ ;, $(1, - 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = - 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} - 2)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$3 \cdot x^{2} y^{2} \frac{d}{d x} [y] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x)$

Passaggio 1.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{3}$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.3.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.3.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 y y' + 0$

Passaggio 1.3.3.2

Somma $2 y y'$ e $0$ .

$2 y y'$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x = 2 y y'$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sottrai $2 y y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 y y' = 0$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $2 y^{3} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} y^{2} y' - 2 y y' = - 2 y^{3} x$

Passaggio 1.5.3

Scomponi $y y'$ da $3 x^{2} y^{2} y' - 2 y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Scomponi $y y'$ da $3 x^{2} y^{2} y'$ .

$y y' (3 x^{2} y) - 2 y y' = - 2 y^{3} x$

Passaggio 1.5.3.2

Scomponi $y y'$ da $- 2 y y'$ .

$y y' (3 x^{2} y) + y y' \cdot - 2 = - 2 y^{3} x$

Passaggio 1.5.3.3

Scomponi $y y'$ da $y y' (3 x^{2} y) + y y' \cdot - 2$ .

$y y' (3 x^{2} y - 2) = - 2 y^{3} x$

Passaggio 1.5.4

Dividi per $y (3 x^{2} y - 2)$ ciascun termine in $y y' (3 x^{2} y - 2) = - 2 y^{3} x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Dividi per $y (3 x^{2} y - 2)$ ciascun termine in $y y' (3 x^{2} y - 2) = - 2 y^{3} x$ .

$\frac{y y' (3 x^{2} y - 2)}{y (3 x^{2} y - 2)} = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (3 x^{2} y - 2)}{y (3 x^{2} y - 2)} = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (3 x^{2} y - 2)}{3 x^{2} y - 2} = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Passaggio 1.5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $3 x^{2} y - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (3 x^{2} y - 2)}{3 x^{2} y - 2} = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Passaggio 1.5.4.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Passaggio 1.5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.1

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.1.1

Scomponi $y$ da $- 2 y^{3} x$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x)}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Passaggio 1.5.4.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x)}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Passaggio 1.5.4.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{3 x^{2} y - 2}$

Passaggio 1.5.4.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{3 x^{2} y - 2}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{2} x}{3 x^{2} y - 2}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 1$ e $y = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$- \frac{2 y^{2} (1)}{3 {(1)}^{2} y - 2}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $- 1$ nell'espressione.

$- \frac{2 {(- 1)}^{2} (1)}{3 {(1)}^{2} (- 1) - 2}$

Passaggio 1.7.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{3 \cdot 1^{2} \cdot - 1 - 2}$

Passaggio 1.7.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{3 \cdot 1 \cdot - 1 - 2}$

Passaggio 1.7.4.2

Moltiplica $3 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.2.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{3 \cdot - 1 - 2}$

Passaggio 1.7.4.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{- 3 - 2}$

Passaggio 1.7.4.3

Sottrai $2$ da $- 3$ .

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{- 5}$

Passaggio 1.7.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{- 5}$

Passaggio 1.7.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \frac{2}{- 5}$

Passaggio 1.7.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{2}{5}$

Passaggio 1.7.6

Moltiplica $- - \frac{2}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{2}{5})$

Passaggio 1.7.6.2

Moltiplica $\frac{2}{5}$ per $1$ .

$\frac{2}{5}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{2}{5}$ e un punto dato $(1, - 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = \frac{2}{5} \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 1 = \frac{2}{5} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{2}{5} \cdot (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y + 1 = 0 + 0 + \frac{2}{5} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y + 1 = \frac{2}{5} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + 1 = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{2}{5}$ e $x$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $\frac{2}{5} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

$\frac{2}{5}$ e $- 1$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 1}{5}$

Passaggio 2.3.1.5.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + 1 = \frac{2 x}{5} - \frac{2}{5}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{2}{5} - 1$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 2.3.2.3

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 2 - 1 \cdot 5}{5}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 2 - 5}{5}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Sottrai $5$ da $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 7}{5}$

Passaggio 2.3.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{7}{5}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{2}{5} x - \frac{7}{5}$

Passaggio 3