Calcolo Esempi

$f (x) = \ln^{2} (x)$ at $x = 10$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = 10$ .

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Passaggio 1.1

Sostituisci $10$ a $x$ .

$y = \ln ({(10)}^{2})$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \ln (10^{2})$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = \ln ({(10)}^{2})$

Passaggio 1.2.3

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$y = \ln (100)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 10$ e $y = \ln (100)$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(x)}^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come ${(x)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con ${(x)}^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Passaggio 2.2.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.2.2.1

$2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x$

Passaggio 2.2.2.2

$\frac{2}{x^{2}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}}$

Passaggio 2.2.2.3

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.1

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Passaggio 2.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Passaggio 2.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Passaggio 2.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{x}$

Passaggio 2.3

Calcola la derivata per $x = 10$ .

$\frac{2}{10}$

Passaggio 2.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{10}$

Passaggio 2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5}$

Passaggio 2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5}$

Passaggio 2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{5}$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{1}{5}$ e un punto dato $(10, \ln (100))$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\ln (100)) = \frac{1}{5} \cdot (x - (10))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \ln (100) = \frac{1}{5} \cdot (x - 10)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Semplifica $\frac{1}{5} \cdot (x - 10)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - \ln (100) = 0 + 0 + \frac{1}{5} \cdot (x - 10)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - \ln (100) = \frac{1}{5} \cdot (x - 10)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \ln (100) = \frac{1}{5} x + \frac{1}{5} \cdot - 10$

Passaggio 3.3.1.4

$\frac{1}{5}$ e $x$ .

$y - \ln (100) = \frac{x}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 10$

Passaggio 3.3.1.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 3.3.1.5.1

Scomponi $5$ da $- 10$ .

$y - \ln (100) = \frac{x}{5} + \frac{1}{5} \cdot (5 (- 2))$

Passaggio 3.3.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$y - \ln (100) = \frac{x}{5} + \frac{1}{5} \cdot (5 \cdot - 2)$

Passaggio 3.3.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$y - \ln (100) = \frac{x}{5} - 2$

Passaggio 3.3.2

Somma $\ln (100)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{x}{5} - 2 + \ln (100)$

Passaggio 3.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{5} x - 2 + \ln (100)$

Passaggio 4