Calcolo Esempi

$f (x) = \sec (x) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ at $x = - \frac{π}{3}$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = - \frac{π}{3}$ .

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Passaggio 1.1

Sostituisci $- \frac{π}{3}$ a $x$ .

$y = \sec (- \frac{π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \sec (- \frac{π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica $\sec (- \frac{π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$y = \sec (\frac{5 π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Passaggio 1.2.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$y = \sec (\frac{π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Passaggio 1.2.2.1.3

Il valore esatto di $\sec (\frac{π}{3})$ è $2$ .

$y = 2 + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Passaggio 1.2.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$y = 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = - \frac{π}{3}$ e $y = 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sec (x) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{3} π}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{3} π}{3}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{3} π}{3}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\sec (x) \tan (x) + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{3} π}{3}]$

Passaggio 2.3.2

Poiché $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\sec (x) \tan (x) + 0 + 0$

Passaggio 2.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.4.1

Somma $\sec (x) \tan (x)$ e $0$ .

$\sec (x) \tan (x) + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $\sec (x) \tan (x)$ e $0$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Passaggio 2.5

Calcola la derivata per $x = - \frac{π}{3}$ .

$\sec (- \frac{π}{3}) \tan (- \frac{π}{3})$

Passaggio 2.6

Semplifica.

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Passaggio 2.6.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\sec (\frac{5 π}{3}) \tan (- \frac{π}{3})$

Passaggio 2.6.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\sec (\frac{π}{3}) \tan (- \frac{π}{3})$

Passaggio 2.6.3

Il valore esatto di $\sec (\frac{π}{3})$ è $2$ .

$2 \tan (- \frac{π}{3})$

Passaggio 2.6.4

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$2 \tan (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 2.6.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel quarto quadrante.

$2 (- \tan (\frac{π}{3}))$

Passaggio 2.6.6

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{3})$ è $\sqrt{3}$ .

$2 (- \sqrt{3})$

Passaggio 2.6.7

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sqrt{3}$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 2 \sqrt{3}$ e un punto dato $(- \frac{π}{3}, 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}) = - 2 \sqrt{3} \cdot (x - (- \frac{π}{3}))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} \cdot (x + \frac{π}{3})$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Semplifica $- 2 \sqrt{3} \cdot (x + \frac{π}{3})$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = 0 + 0 - 2 \sqrt{3} \cdot (x + \frac{π}{3})$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} \cdot (x + \frac{π}{3})$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x - 2 \sqrt{3} \frac{π}{3}$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $- 2 \sqrt{3} \frac{π}{3}$ .

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Passaggio 3.3.1.4.1

$\frac{π}{3}$ e $- 2$ .

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 2}{3} \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.1.4.2

$\frac{π \cdot - 2}{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3.3.1.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.5.1

Sposta $- 2$ alla sinistra di $π$ .

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 \cdot π \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3.3.1.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 3$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Passaggio 3.3.2.3

Combina i termini opposti in $- 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ .

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Passaggio 3.3.2.3.1

Riordina i fattori nei termini di $- \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$ e $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ .

$y = - 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 3 + \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3.3.2.3.2

Somma $- \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$ e $\frac{2 π \sqrt{3}}{3}$ .

$y = - 2 \sqrt{3} x + 0 + 3$

Passaggio 3.3.2.3.3

Somma $- 2 \sqrt{3} x$ e $0$ .

$y = - 2 \sqrt{3} x + 3$

Passaggio 4