Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$ ; , $x = 1$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$y = \sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}}$

Passaggio 1.2

Semplifica $\sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$y = 1 + \frac{2}{\sqrt{1}}$

Passaggio 1.2.2.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$y = 1 + \frac{2}{1}$

Passaggio 1.2.2.3

Dividi $2$ per $1$ .

$y = 1 + 2$

Passaggio 1.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$y = 3$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = 3$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 2.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 2.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 2.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 2.2.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 2.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ come ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 2.3.6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 2.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 2.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 2.3.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Passaggio 2.3.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 2.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 2.3.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Passaggio 2.3.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Passaggio 2.3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Passaggio 2.3.12

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.3.13

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Passaggio 2.3.14

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.14.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Passaggio 2.3.14.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Passaggio 2.3.14.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Passaggio 2.3.14.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Passaggio 2.3.14.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.14.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Passaggio 2.3.14.5.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Passaggio 2.3.14.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Passaggio 2.3.15

Sposta $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 2.3.16

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.3.17

$- 2$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.3.18

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.3.19

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.19.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Passaggio 2.3.19.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.3.19.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.3.20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.5

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$\frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2 \cdot 1} - \frac{1}{{(1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{{(1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.6.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{1}$

Passaggio 2.6.1.4

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{1}$

Passaggio 2.6.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} - 1$

Passaggio 2.6.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 2.6.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.6.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1 - 2}{2}$

Passaggio 2.6.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.6.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{1}{2}$ e un punto dato $(1, 3)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 3 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $- \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 3 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 3 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.4

$x$ e $\frac{1}{2}$ .

$y - 3 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y - 3 = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.3.1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$y - 3 = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + 3$

Passaggio 3.3.2.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.3.2.3

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1 + 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1 + 6}{2}$

Passaggio 3.3.2.5.2

Somma $1$ e $6$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{7}{2}$

Passaggio 3.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{1}{2} x) + \frac{7}{2}$

Passaggio 3.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{7}{2}$

Passaggio 4