Calcolo Esempi

${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 37$ , $(- 3, - 3)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = - 3$ e $y = - 3$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d x} (37)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi ${(x + 2)}^{2}$ come $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Espandi $(x + 2) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (x + 2) + 2 (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

Passaggio 1.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

Passaggio 1.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

Passaggio 1.2.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

Passaggio 1.2.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 2 x + 4 + {(y - 3)}^{2}]$

Passaggio 1.2.3.2

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + {(y - 3)}^{2}]$

Passaggio 1.2.4

Riscrivi ${(y - 3)}^{2}$ come $(y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + (y - 3) (y - 3)]$

Passaggio 1.2.5

Espandi $(y - 3) (y - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

Passaggio 1.2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

Passaggio 1.2.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Passaggio 1.2.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Passaggio 1.2.6.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Passaggio 1.2.6.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $3 y$ da $- 3 y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 6 y + 9]$

Passaggio 1.2.7

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 6 y + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.8

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.8.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.8.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.9

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 4 + 0 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.10

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 x + 4 + 0 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.10.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.10.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.10.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.11

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 y$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.11.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 y' + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.12

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 y' + 0$

Passaggio 1.2.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.13.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.13.1.1

Somma $2 x + 4$ e $0$ .

$2 x + 4 + 2 y y' - 6 y' + 0$

Passaggio 1.2.13.1.2

Somma $2 x + 4 + 2 y y' - 6 y'$ e $0$ .

$2 x + 4 + 2 y y' - 6 y'$

Passaggio 1.2.13.2

Riordina i termini.

$2 y y' + 2 x + 4 - 6 y'$

Passaggio 1.3

Poiché $37$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $37$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y y' + 2 x + 4 - 6 y' = 0$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y y' + 4 - 6 y' = - 2 x$

Passaggio 1.5.1.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y y' - 6 y' = - 2 x - 4$

Passaggio 1.5.2

Scomponi $2 y'$ da $2 y y' - 6 y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $2 y'$ da $2 y y'$ .

$2 y' y - 6 y' = - 2 x - 4$

Passaggio 1.5.2.2

Scomponi $2 y'$ da $- 6 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot - 3 = - 2 x - 4$

Passaggio 1.5.2.3

Scomponi $2 y'$ da $2 y' y + 2 y' \cdot - 3$ .

$2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$

Passaggio 1.5.3

Dividi per $2 (y - 3)$ ciascun termine in $2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Dividi per $2 (y - 3)$ ciascun termine in $2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$ .

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $y - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Passaggio 1.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- x}{y - 3} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1.3.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y - 3)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y - 3)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{- 2}{y - 3}$

Passaggio 1.5.3.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x}{y - 3} - \frac{2}{y - 3}$

Passaggio 1.5.3.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- x - 2}{y - 3}$

Passaggio 1.5.3.3.2.2

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$y' = \frac{- (x) - 2}{y - 3}$

Passaggio 1.5.3.3.2.3

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{- (x) - 1 (2)}{y - 3}$

Passaggio 1.5.3.3.2.4

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (2)$ .

$y' = \frac{- (x + 2)}{y - 3}$

Passaggio 1.5.3.3.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.2.5.1

Riscrivi $- (x + 2)$ come $- 1 (x + 2)$ .

$y' = \frac{- 1 (x + 2)}{y - 3}$

Passaggio 1.5.3.3.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x + 2}{y - 3}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 2}{y - 3}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = - 3$ e $y = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$- \frac{(- 3) + 2}{y - 3}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $- 3$ nell'espressione.

$- \frac{(- 3) + 2}{(- 3) - 3}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Somma $- 3$ e $2$ .

$- \frac{- 1}{- 3 - 3}$

Passaggio 1.7.3.2

Sottrai $3$ da $- 3$ .

$- \frac{- 1}{- 6}$

Passaggio 1.7.4

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$- \frac{1}{6}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{1}{6}$ e un punto dato $(- 3, - 3)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 3) = - \frac{1}{6} \cdot (x - (- 3))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 3 = - \frac{1}{6} \cdot (x + 3)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{1}{6} \cdot (x + 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y + 3 = 0 + 0 - \frac{1}{6} \cdot (x + 3)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y + 3 = - \frac{1}{6} \cdot (x + 3)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + 3 = - \frac{1}{6} x - \frac{1}{6} \cdot 3$

Passaggio 2.3.1.4

$x$ e $\frac{1}{6}$ .

$y + 3 = - \frac{x}{6} - \frac{1}{6} \cdot 3$

Passaggio 2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{6}$ nel numeratore.

$y + 3 = - \frac{x}{6} + \frac{- 1}{6} \cdot 3$

Passaggio 2.3.1.5.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$y + 3 = - \frac{x}{6} + \frac{- 1}{3 (2)} \cdot 3$

Passaggio 2.3.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$y + 3 = - \frac{x}{6} + \frac{- 1}{3 \cdot 2} \cdot 3$

Passaggio 2.3.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$y + 3 = - \frac{x}{6} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + 3 = - \frac{x}{6} - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{x}{6} - \frac{1}{2} - 3$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x}{6} - \frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 2.3.2.3

$- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x}{6} - \frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{x}{6} + \frac{- 1 - 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$y = - \frac{x}{6} + \frac{- 1 - 6}{2}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Sottrai $6$ da $- 1$ .

$y = - \frac{x}{6} + \frac{- 7}{2}$

Passaggio 2.3.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{x}{6} - \frac{7}{2}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{1}{6} x) - \frac{7}{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{1}{6} x - \frac{7}{2}$

Passaggio 3