Calcolo Esempi

$y^{4} + x^{3} = y^{2} + 12 x$ , tangent at $(0, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y^{4} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 12 x)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{4} + x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 y^{3} y' + 3 x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2

Riordina i termini.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y'$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} + 12 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Passaggio 1.3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Passaggio 1.3.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Passaggio 1.3.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [12 x]$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y y' + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 y y' + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.3.3.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$2 y y' + 12$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y' = 2 y y' + 12$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sottrai $2 y y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y' - 2 y y' = 12$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 y^{3} y' - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Passaggio 1.5.3

Scomponi $2 y y'$ da $4 y^{3} y' - 2 y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Scomponi $2 y y'$ da $4 y^{3} y'$ .

$2 y y' (2 y^{2}) - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Passaggio 1.5.3.2

Scomponi $2 y y'$ da $- 2 y y'$ .

$2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' \cdot - 1 = 12 - 3 x^{2}$

Passaggio 1.5.3.3

Scomponi $2 y y'$ da $2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' \cdot - 1$ .

$2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$

Passaggio 1.5.4

Dividi per $2 y (2 y^{2} - 1)$ ciascun termine in $2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Dividi per $2 y (2 y^{2} - 1)$ ciascun termine in $2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ .

$\frac{2 y y' (2 y^{2} - 1)}{2 y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y y' (2 y^{2} - 1)}{2 y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y' (2 y^{2} - 1)}{y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Passaggio 1.5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (2 y^{2} - 1)}{y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Passaggio 1.5.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (2 y^{2} - 1)}{2 y^{2} - 1} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Passaggio 1.5.4.2.3

Elimina il fattore comune di $2 y^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (2 y^{2} - 1)}{2 y^{2} - 1} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Passaggio 1.5.4.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Passaggio 1.5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $12$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Passaggio 1.5.4.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 y (2 y^{2} - 1)$ .

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (2 y^{2} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Passaggio 1.5.4.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (2 y^{2} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Passaggio 1.5.4.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Passaggio 1.5.4.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 0$ e $y = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$\frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $1$ nell'espressione.

$\frac{6}{(1) (2 {(1)}^{2} - 1)} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Moltiplica $2 \cdot 1^{2} - 1$ per $1$ .

$\frac{6}{2 \cdot 1^{2} - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Passaggio 1.7.3.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{6}{2 \cdot 1 - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Passaggio 1.7.3.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{6}{2 - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Passaggio 1.7.3.2.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{6}{1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Passaggio 1.7.3.3

Dividi $6$ per $1$ .

$6 - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Passaggio 1.7.3.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$6 - \frac{3 \cdot 0}{2 (1) (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

Passaggio 1.7.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$6 - \frac{3 \cdot 0}{2 (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

Passaggio 1.7.3.6

Moltiplica $3$ per $0$ .

$6 - \frac{0}{2 (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

Passaggio 1.7.3.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.7.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$6 - \frac{0}{2 (2 \cdot 1 - 1)}$

Passaggio 1.7.3.7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$6 - \frac{0}{2 (2 - 1)}$

Passaggio 1.7.3.7.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$6 - \frac{0}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.8

Moltiplica $2$ per $1$ .

$6 - \frac{0}{2}$

Passaggio 1.7.3.9

Dividi $0$ per $2$ .

$6 - 0$

Passaggio 1.7.3.10

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$6 + 0$

Passaggio 1.7.4

Somma $6$ e $0$ .

$6$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $6$ e un punto dato $(0, 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 6 \cdot (x - (0))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 1 = 6 \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Somma $x$ e $0$ .

$y - 1 = 6 x$

Passaggio 2.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 6 x + 1$

Passaggio 3