Calcolo Esempi

$y^{2} = x^{3} - 4 x + 1$ at $(- 2, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = - 2$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 4 x + 1)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y y'$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 4 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.2.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$3 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} - 4 + 0$

Passaggio 1.3.3.2

Somma $3 x^{2} - 4$ e $0$ .

$3 x^{2} - 4$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y y' = 3 x^{2} - 4$

Passaggio 1.5

Dividi per $2 y$ ciascun termine in $2 y y' = 3 x^{2} - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Dividi per $2 y$ ciascun termine in $2 y y' = 3 x^{2} - 4$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

Passaggio 1.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

Passaggio 1.5.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

Passaggio 1.5.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y)}$

Passaggio 1.5.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

Passaggio 1.5.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 2}{y}$

Passaggio 1.5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} - \frac{2}{y}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} - \frac{2}{y}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = - 2$ e $y = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$\frac{3 {(- 2)}^{2}}{2 y} - \frac{2}{y}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $1$ nell'espressione.

$\frac{3 {(- 2)}^{2}}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Elimina il fattore comune di ${(- 2)}^{2}$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1.1

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$\frac{3 {(- 1 (2))}^{2}}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

Passaggio 1.7.3.1.2

Applica la regola del prodotto a $- 1 (2)$ .

$\frac{3 ({(- 1)}^{2} \cdot 2^{2})}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

Passaggio 1.7.3.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{3 (1 \cdot 2^{2})}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

Passaggio 1.7.3.1.4

Moltiplica $2^{2}$ per $1$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2}}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

Passaggio 1.7.3.1.5

Scomponi $2$ da $3 \cdot 2^{2}$ .

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

Passaggio 1.7.3.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 \cdot 1} - \frac{2}{1}$

Passaggio 1.7.3.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 \cdot 2}{1} - \frac{2}{1}$

Passaggio 1.7.3.1.6.3

Dividi $3 \cdot 2$ per $1$ .

$3 \cdot 2 - \frac{2}{1}$

Passaggio 1.7.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 - \frac{2}{1}$

Passaggio 1.7.3.3

Dividi $2$ per $1$ .

$6 - 1 \cdot 2$

Passaggio 1.7.3.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$6 - 2$

Passaggio 1.7.4

Sottrai $2$ da $6$ .

$4$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $4$ e un punto dato $(- 2, 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 4 \cdot (x - (- 2))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 1 = 4 \cdot (x + 2)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $4 \cdot (x + 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 + 4 \cdot (x + 2)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 = 4 \cdot (x + 2)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = 4 x + 4 \cdot 2$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $4$ per $2$ .

$y - 1 = 4 x + 8$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 4 x + 8 + 1$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $8$ e $1$ .

$y = 4 x + 9$

Passaggio 3