Calcolo Esempi

$y = e^{3 x}$ at $x = \frac{1}{3} \ln (2)$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = \frac{1}{3} \cdot \ln (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $\frac{1}{3} \cdot \ln (2)$ a $x$ .

$y = e^{3 (\frac{1}{3} \cdot \ln (2))}$

Passaggio 1.2

Semplifica $e^{3 (\frac{1}{3} \cdot \ln (2))}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (2)$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$y = e^{3 \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica $3 \ln (2^{\frac{1}{3}})$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$y = e^{\ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{3})}$

Passaggio 1.2.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$y = {(2^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Passaggio 1.2.4.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Passaggio 1.2.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 2^{1}$

Passaggio 1.2.5

Calcola l'esponente.

$y = 2$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = \frac{1}{3} \ln (2)$ e $y = 2$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

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Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{3 x} (3 \cdot 1)$

Passaggio 2.2.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$e^{3 x} \cdot 3$

Passaggio 2.2.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$3 e^{3 x}$

Passaggio 2.3

Calcola la derivata per $x = \frac{1}{3} \cdot \ln (2)$ .

$3 e^{3 (\frac{1}{3} \cdot \ln (2))}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (2)$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$3 e^{3 \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica $3 \ln (2^{\frac{1}{3}})$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$3 e^{\ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{3})}$

Passaggio 2.4.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$3 {(2^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Passaggio 2.4.4.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Passaggio 2.4.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$3 \cdot 2^{1}$

Passaggio 2.4.5

Calcola l'esponente.

$3 \cdot 2$

Passaggio 2.4.6

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $6$ e un punto dato $(\frac{1}{3} \cdot \ln (2), 2)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 6 \cdot (x - (\frac{1}{3} \cdot \ln (2)))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 2 = 6 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{3}}))$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $6 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{3}}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - 2 = 0 + 0 + 6 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{3}}))$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 2 = 6 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{3}}))$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 2 = 6 x + 6 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $6 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$y - 2 = 6 x - 6 \ln (2^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 3.3.1.4.2

Semplifica $- 6 \ln (2^{\frac{1}{3}})$ spostando $6$ all'interno del logaritmo.

$y - 2 = 6 x - \ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{6})$

Passaggio 3.3.1.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.5.1

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{\frac{1}{3}})}^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 2 = 6 x - \ln (2^{\frac{1}{3} \cdot 6})$

Passaggio 3.3.1.5.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.3.1.5.1.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$y - 2 = 6 x - \ln (2^{\frac{1}{3} \cdot (3 (2))})$

Passaggio 3.3.1.5.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y - 2 = 6 x - \ln (2^{\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 2)})$

Passaggio 3.3.1.5.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y - 2 = 6 x - \ln (2^{2})$

Passaggio 3.3.1.5.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y - 2 = 6 x - \ln (4)$

Passaggio 3.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 6 x - \ln (4) + 2$

Passaggio 4