Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x - 5}$ , $(4, - 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 4$ e $y = - 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\frac{1}{x - 5}$ come ${(x - 5)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{- 1}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x - 5$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 5]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 5$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 1.3.3

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} (1 + 0)$

Passaggio 1.3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} \cdot 1$

Passaggio 1.3.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- {(x - 5)}^{- 2}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Calcola la derivata per $x = 4$ .

$- \frac{1}{{((4) - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.6.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.6.1.1

Sottrai $5$ da $4$ .

$- \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 1.6.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{1}{1}$

Passaggio 1.6.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 1.6.2.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 1.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{1}$

Passaggio 1.6.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 1.6.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 1$ e un punto dato $(4, - 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = - 1 \cdot (x - (4))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 1 = - 1 \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- 1 \cdot (x - 4)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y + 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y + 1 = - 1 \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + 1 = - 1 x - 1 \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.1.4.1

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y + 1 = - x - 1 \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y + 1 = - x + 4$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - x + 4 - 1$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$y = - x + 3$

Passaggio 3