Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{2}}{8 + x}$ , $(1, \frac{1}{9})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = \frac{1}{9}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 8 + x$ .

$\frac{(8 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [8 + x]}{{(8 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(8 + x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [8 + x]}{{(8 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $8 + x$ .

$\frac{2 \cdot (8 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [8 + x]}{{(8 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (8 + x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x])}{{(8 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (8 + x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(8 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (8 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(8 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (8 + x) x - x^{2} \cdot 1}{{(8 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (8 + x) x - x^{2}}{{(8 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 \cdot 8 + 2 x) x - x^{2}}{{(8 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cdot 8 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(8 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{16 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(8 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{16 x + 2 (x \cdot x) - x^{2}}{{(8 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{16 x + 2 x^{2} - x^{2}}{{(8 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{16 x + x^{2}}{{(8 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Riordina i termini.

$\frac{x^{2} + 16 x}{{(x + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Scomponi $x$ da $x^{2} + 16 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 16 x}{{(x + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.2

Scomponi $x$ da $16 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 16}{{(x + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 16$ .

$\frac{x (x + 16)}{{(x + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$\frac{(1) ((1) + 16)}{{((1) + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica $1 + 16$ per $1$ .

$\frac{1 + 16}{{(1 + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.5.2.1

Somma $1$ e $8$ .

$\frac{1 + 16}{9^{2}}$

Passaggio 1.5.2.2

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1 + 16}{81}$

Passaggio 1.5.3

Somma $1$ e $16$ .

$\frac{17}{81}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{17}{81}$ e un punto dato $(1, \frac{1}{9})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{9}) = \frac{17}{81} \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{1}{9} = \frac{17}{81} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{17}{81} \cdot (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - \frac{1}{9} = 0 + 0 + \frac{17}{81} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - \frac{1}{9} = \frac{17}{81} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{1}{9} = \frac{17}{81} x + \frac{17}{81} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{17}{81}$ e $x$ .

$y - \frac{1}{9} = \frac{17 x}{81} + \frac{17}{81} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $\frac{17}{81} \cdot - 1$ .

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Passaggio 2.3.1.5.1

$\frac{17}{81}$ e $- 1$ .

$y - \frac{1}{9} = \frac{17 x}{81} + \frac{17 \cdot - 1}{81}$

Passaggio 2.3.1.5.2

Moltiplica $17$ per $- 1$ .

$y - \frac{1}{9} = \frac{17 x}{81} + \frac{- 17}{81}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - \frac{1}{9} = \frac{17 x}{81} - \frac{17}{81}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $\frac{1}{9}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{17 x}{81} - \frac{17}{81} + \frac{1}{9}$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $\frac{1}{9}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{17 x}{81} - \frac{17}{81} + \frac{1}{9} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 2.3.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $81$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{17 x}{81} - \frac{17}{81} + \frac{9}{9 \cdot 9}$

Passaggio 2.3.2.3.2

Moltiplica $9$ per $9$ .

$y = \frac{17 x}{81} - \frac{17}{81} + \frac{9}{81}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{17 x}{81} + \frac{- 17 + 9}{81}$

Passaggio 2.3.2.5

Somma $- 17$ e $9$ .

$y = \frac{17 x}{81} + \frac{- 8}{81}$

Passaggio 2.3.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{17 x}{81} - \frac{8}{81}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{17}{81} x - \frac{8}{81}$

Passaggio 3