Calcolo Esempi

$y = \cos (3 x)$ , $(\frac{π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = \frac{π}{4}$ e $y = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 \sin (3 x) \cdot 1$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3 \sin (3 x)$

Passaggio 1.3

Calcola la derivata per $x = \frac{π}{4}$ .

$- 3 \sin (3 (\frac{π}{4}))$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

$3$ e $\frac{π}{4}$ .

$- 3 \sin (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 1.4.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- 3 \sin (\frac{π}{4})$

Passaggio 1.4.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 1.4.4

$- 3$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 3 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 1.4.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ e un punto dato $(\frac{π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 + 0 - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} x - \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

Passaggio 2.3.1.4

$x$ e $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $- \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$ .

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Passaggio 2.3.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + 1 \frac{3 \sqrt{2}}{2} \frac{π}{4}$

Passaggio 2.3.1.5.2

Moltiplica $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$

Passaggio 2.3.1.5.3

Moltiplica $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{π}{4}$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.3.1.5.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $\frac{\sqrt{2}}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Per scrivere $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 2.3.3.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Passaggio 2.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π - \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Passaggio 2.3.3.4

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 2.3.3.5

Riordina i termini.

$y = - (\frac{3 \sqrt{2}}{2} x) + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 2.3.3.6

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 3