Calcolo Esempi

$x^{2} + x y + y^{2} = 3$ , $(1, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x y + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 1.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 1.2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 1.2.2.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

Passaggio 1.2.4

Riordina i termini.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

Passaggio 1.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

Passaggio 1.5.1.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

Passaggio 1.5.2

Scomponi $y'$ da $x y' + 2 y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $y'$ da $x y'$ .

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

Passaggio 1.5.2.2

Scomponi $y'$ da $2 y y'$ .

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

Passaggio 1.5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (x) + y' (2 y)$ .

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

Passaggio 1.5.3

Dividi per $x + 2 y$ ciascun termine in $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Dividi per $x + 2 y$ ciascun termine in $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Passaggio 1.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

Passaggio 1.5.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

Passaggio 1.5.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

Passaggio 1.5.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

Passaggio 1.5.3.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.5.1

Riscrivi $- (2 x + y)$ come $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

Passaggio 1.5.3.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 1$ e $y = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$- \frac{2 (1) + y}{(1) + 2 y}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $1$ nell'espressione.

$- \frac{2 (1) + 1}{(1) + 2 (1)}$

Passaggio 1.7.3

Rimuovi le parentesi.

$- \frac{2 (1) + 1}{(1) + 2 (1)}$

Passaggio 1.7.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \frac{2 + 1}{1 + 2 (1)}$

Passaggio 1.7.4.2

Somma $2$ e $1$ .

$- \frac{3}{1 + 2 (1)}$

Passaggio 1.7.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \frac{3}{1 + 2}$

Passaggio 1.7.5.2

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{3}{3}$

Passaggio 1.7.6

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3}{3}$

Passaggio 1.7.6.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 1.7.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 1$ e un punto dato $(1, 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 1 \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $- 1 \cdot (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.4.1

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y - 1 = - x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y - 1 = - x + 1$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - x + 1 + 1$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$y = - x + 2$

Passaggio 3