Calcolo Esempi

$y = e^{2 x}$ at $x = \frac{1}{2} \ln (5)$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = \frac{1}{2} \cdot \ln (5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $\frac{1}{2} \cdot \ln (5)$ a $x$ .

$y = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (5))}$

Passaggio 1.2

Semplifica $e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (5))}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (5)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$y = e^{2 \ln (5^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica $2 \ln (5^{\frac{1}{2}})$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$y = e^{\ln ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 1.2.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$y = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica gli esponenti in ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 1.2.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 1.2.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 5^{1}$

Passaggio 1.2.5

Calcola l'esponente.

$y = 5$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = \frac{1}{2} \ln (5)$ e $y = 5$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

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Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Passaggio 2.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Passaggio 2.2.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Passaggio 2.3

Calcola la derivata per $x = \frac{1}{2} \cdot \ln (5)$ .

$2 e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (5))}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (5)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$2 e^{2 \ln (5^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica $2 \ln (5^{\frac{1}{2}})$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$2 e^{\ln ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 2.4.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica gli esponenti in ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 2.4.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 2.4.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \cdot 5^{1}$

Passaggio 2.4.5

Calcola l'esponente.

$2 \cdot 5$

Passaggio 2.4.6

Moltiplica $2$ per $5$ .

$10$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $10$ e un punto dato $(\frac{1}{2} \cdot \ln (5), 5)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = 10 \cdot (x - (\frac{1}{2} \cdot \ln (5)))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 5 = 10 \cdot (x - \ln (5^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $10 \cdot (x - \ln (5^{\frac{1}{2}}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - 5 = 0 + 0 + 10 \cdot (x - \ln (5^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 5 = 10 \cdot (x - \ln (5^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 5 = 10 x + 10 (- \ln (5^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $10 (- \ln (5^{\frac{1}{2}}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$y - 5 = 10 x - 10 \ln (5^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3.3.1.4.2

Semplifica $- 10 \ln (5^{\frac{1}{2}})$ spostando $10$ all'interno del logaritmo.

$y - 5 = 10 x - \ln ({(5^{\frac{1}{2}})}^{10})$

Passaggio 3.3.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1

Moltiplica gli esponenti in ${(5^{\frac{1}{2}})}^{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 5 = 10 x - \ln (5^{\frac{1}{2} \cdot 10})$

Passaggio 3.3.1.5.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$y - 5 = 10 x - \ln (5^{\frac{1}{2} \cdot (2 (5))})$

Passaggio 3.3.1.5.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y - 5 = 10 x - \ln (5^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 5)})$

Passaggio 3.3.1.5.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y - 5 = 10 x - \ln (5^{5})$

Passaggio 3.3.1.5.2

Eleva $5$ alla potenza di $5$ .

$y - 5 = 10 x - \ln (3125)$

Passaggio 3.3.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 10 x - \ln (3125) + 5$

Passaggio 4