Calcolo Esempi

$f (x) = {(5 x + 1)}^{2}$ ;, $(0, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(5 x + 1)}^{2}$ come $(5 x + 1) (5 x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(5 x + 1) (5 x + 1)]$

Passaggio 1.2

Espandi $(5 x + 1) (5 x + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x + 1) + 1 (5 x + 1)]$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x + 1)]$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Passaggio 1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Passaggio 1.3.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Passaggio 1.3.1.5

Moltiplica $5 x$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 5 x + 1 \cdot 1]$

Passaggio 1.3.1.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 5 x + 1]$

Passaggio 1.3.2

Somma $5 x$ e $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 10 x + 1]$

Passaggio 1.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $25 x^{2} + 10 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.5

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25 x^{2}$ rispetto a $x$ è $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$25 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.7

Moltiplica $2$ per $25$ .

$50 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.8

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$50 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$50 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.10

Moltiplica $10$ per $1$ .

$50 x + 10 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.11

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$50 x + 10 + 0$

Passaggio 1.12

Somma $50 x + 10$ e $0$ .

$50 x + 10$

Passaggio 1.13

Calcola la derivata per $x = 0$ .

$50 (0) + 10$

Passaggio 1.14

Semplifica.

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Passaggio 1.14.1

Moltiplica $50$ per $0$ .

$0 + 10$

Passaggio 1.14.2

Somma $0$ e $10$ .

$10$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $10$ e un punto dato $(0, 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 10 \cdot (x - (0))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 1 = 10 \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Somma $x$ e $0$ .

$y - 1 = 10 x$

Passaggio 2.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 10 x + 1$

Passaggio 3