Calcolo Esempi

$f (x) = x \sin (10 x)$ at $x = π$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $π$ a $x$ .

$y = (π) \sin (10 (π))$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Moltiplica $10$ per $π$ .

$y = π \sin (10 π)$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = (π) \sin (10 (π))$

Passaggio 1.2.3

Semplifica $(π) \sin (10 (π))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$y = π \sin (0)$

Passaggio 1.2.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$y = π \cdot 0$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $π$ per $0$ .

$y = 0$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = π$ e $y = 0$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (10 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (10 x)] + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 10 x$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $10 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $10 x$ .

$x (\cos (10 x) \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (\cos (10 x) (10 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (\cos (10 x) (10 \cdot 1)) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $10$ per $1$ .

$x (\cos (10 x) \cdot 10) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta $10$ alla sinistra di $\cos (10 x)$ .

$x (10 \cdot \cos (10 x)) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (10 \cos (10 x)) + \sin (10 x) \cdot 1$

Passaggio 2.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.5.1

Moltiplica $\sin (10 x)$ per $1$ .

$x (10 \cos (10 x)) + \sin (10 x)$

Passaggio 2.3.5.2

Riordina i termini.

$10 x \cos (10 x) + \sin (10 x)$

Passaggio 2.4

Calcola la derivata per $x = π$ .

$10 (π) \cos (10 (π)) + \sin (10 (π))$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.5.1.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$10 π \cos (0) + \sin (10 (π))$

Passaggio 2.5.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$10 π \cdot 1 + \sin (10 (π))$

Passaggio 2.5.1.3

Moltiplica $10$ per $1$ .

$10 π + \sin (10 (π))$

Passaggio 2.5.1.4

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$10 π + \sin (0)$

Passaggio 2.5.1.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$10 π + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $10 π$ e $0$ .

$10 π$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $10 π$ e un punto dato $(π, 0)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 10 π \cdot (x - (π))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 0 = 10 π \cdot (x - π)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Somma $y$ e $0$ .

$y = 10 π \cdot (x - π)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica $10 π \cdot (x - π)$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = 10 π x + 10 π (- π)$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $10 π (- π)$ .

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Passaggio 3.3.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$y = 10 π x - 10 π π$

Passaggio 3.3.2.2.2

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$y = 10 π x - 10 (π^{1} π)$

Passaggio 3.3.2.2.3

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$y = 10 π x - 10 (π^{1} π^{1})$

Passaggio 3.3.2.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = 10 π x - 10 π^{1 + 1}$

Passaggio 3.3.2.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = 10 π x - 10 π^{2}$

Passaggio 4