Calcolo Esempi

$y = \sqrt{x^{3} + 3}$ at $(1, 2)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = 2$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{3} + 3}$ come ${(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{3} + 3$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3} + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} + 3$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

Passaggio 1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

Passaggio 1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

Passaggio 1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

Passaggio 1.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

Passaggio 1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

Passaggio 1.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

Passaggio 1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

Passaggio 1.7.3

Sposta ${(x^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

Passaggio 1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.10

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 0)$

Passaggio 1.11

Riduci le frazioni.

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Passaggio 1.11.1

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2})$

Passaggio 1.11.2

$3$ e $\frac{1}{2 {(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}} x^{2}$

Passaggio 1.11.3

$\frac{3}{2 {(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 {(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.12

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 {({(1)}^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13

Semplifica.

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Passaggio 1.13.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{3 \cdot 1}{2 {(1^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.13.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{3 \cdot 1}{2 {(1 + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.2.2

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.2.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.2.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 1.13.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.13.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 1.13.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 2^{1}}$

Passaggio 1.13.2.6

Calcola l'esponente.

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.13.3

Moltiplica.

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Passaggio 1.13.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.13.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3}{4}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{3}{4}$ e un punto dato $(1, 2)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{3}{4} \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 2 = \frac{3}{4} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{3}{4} \cdot (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{3}{4} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 2 = \frac{3}{4} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 2 = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{3}{4}$ e $x$ .

$y - 2 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $\frac{3}{4} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

$\frac{3}{4}$ e $- 1$ .

$y - 2 = \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{4}$

Passaggio 2.3.1.5.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$y - 2 = \frac{3 x}{4} + \frac{- 3}{4}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - 2 = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4} + 2$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 2.3.2.3

$2$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 3 + 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 3 + 8}{4}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Somma $- 3$ e $8$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{5}{4}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{5}{4}$

Passaggio 3