Calcolo Esempi

$f (x) = (- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 x + 3)$ , $x = 0$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$y = (- 5 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = (- 5 \cdot 0^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = (- 5 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Passaggio 1.2.3

Semplifica $(- 5 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = (- 5 \cdot 0 + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Passaggio 1.2.3.1.2

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$y = (0 + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Passaggio 1.2.3.1.3

Moltiplica $5$ per $0$ .

$y = (0 + 0 - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$y = (0 - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Passaggio 1.2.3.2.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$y = - 2 (- 2 \cdot 0 + 3)$

Passaggio 1.2.3.2.3

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$y = - 2 (0 + 3)$

Passaggio 1.2.3.2.4

Somma $0$ e $3$ .

$y = - 2 \cdot 3$

Passaggio 1.2.3.2.5

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$y = - 6$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = - 6$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 5 x^{2} + 5 x - 2$ e $g (x) = - 2 x + 3$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) \frac{d}{d x} [- 2 x + 3] + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Passaggio 2.2.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Passaggio 2.2.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 + 0) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Passaggio 2.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Somma $- 2$ e $0$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) \cdot - 2 + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Passaggio 2.2.6.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $- 5 x^{2} + 5 x - 2$ .

$- 2 \cdot (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Passaggio 2.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 5 x^{2} + 5 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 2.2.8

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 2.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 2.2.11

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 2.2.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 2.2.13

Moltiplica $5$ per $1$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 2.2.14

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 + 0)$

Passaggio 2.2.15

Somma $- 10 x + 5$ e $0$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5)$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5)$

Passaggio 2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 + (- 2 x + 3) (- 10 x) + (- 2 x + 3) \cdot 5$

Passaggio 2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) + (- 2 x + 3) \cdot 5$

Passaggio 2.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Passaggio 2.3.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Moltiplica $- 5$ per $- 2$ .

$10 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$10 x^{2} - 10 x - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Passaggio 2.3.5.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Passaggio 2.3.5.4

Moltiplica $- 10$ per $- 2$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x \cdot x + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Passaggio 2.3.5.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 (x^{1} x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Passaggio 2.3.5.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 (x^{1} x^{1}) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Passaggio 2.3.5.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{1 + 1} + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Passaggio 2.3.5.8

Somma $1$ e $1$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Passaggio 2.3.5.9

Moltiplica $- 10$ per $3$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 30 x - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Passaggio 2.3.5.10

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 30 x - 10 x + 3 \cdot 5$

Passaggio 2.3.5.11

Moltiplica $3$ per $5$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 30 x - 10 x + 15$

Passaggio 2.3.5.12

Sottrai $10 x$ da $- 30 x$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 40 x + 15$

Passaggio 2.3.5.13

Somma $10 x^{2}$ e $20 x^{2}$ .

$30 x^{2} - 10 x + 4 - 40 x + 15$

Passaggio 2.3.5.14

Sottrai $40 x$ da $- 10 x$ .

$30 x^{2} - 50 x + 4 + 15$

Passaggio 2.3.5.15

Somma $4$ e $15$ .

$30 x^{2} - 50 x + 19$

Passaggio 2.4

Calcola la derivata per $x = 0$ .

$30 {(0)}^{2} - 50 \cdot 0 + 19$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$30 \cdot 0 - 50 \cdot 0 + 19$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $30$ per $0$ .

$0 - 50 \cdot 0 + 19$

Passaggio 2.5.1.3

Moltiplica $- 50$ per $0$ .

$0 + 0 + 19$

Passaggio 2.5.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 19$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $0$ e $19$ .

$19$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $19$ e un punto dato $(0, - 6)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 6) = 19 \cdot (x - (0))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 6 = 19 \cdot (x + 0)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Somma $x$ e $0$ .

$y + 6 = 19 x$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = 19 x - 6$

Passaggio 4