Calcolo Esempi

$y = \frac{6}{(1 + e^{- x})}$ , $(0, 3)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = 3$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{6}{1 + e^{- x}}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $\frac{1}{1 + e^{- x}}$ come ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(1 + e^{- x})}^{- 1}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 1 + e^{- x}$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $1 + e^{- x}$ .

$6 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$6 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 + e^{- x}$ .

$6 (- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$- 6 ({(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Passaggio 1.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Passaggio 1.3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 1.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- x$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.5

Differenzia.

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Passaggio 1.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \cdot 1)$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.6.1

Riordina i fattori di $6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ .

$6 e^{- x} {(1 + e^{- x})}^{- 2}$

Passaggio 1.6.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

Passaggio 1.6.3

Moltiplica $6 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ .

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Passaggio 1.6.3.1

$\frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ e $6$ .

$\frac{6}{{(1 + e^{- x})}^{2}} e^{- x}$

Passaggio 1.6.3.2

$\frac{6}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ e $e^{- x}$ .

$\frac{6 e^{- x}}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

Passaggio 1.7

Calcola la derivata per $x = 0$ .

$\frac{6 e^{- (0)}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

Passaggio 1.8

Semplifica.

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Passaggio 1.8.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.8.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{6 e^{0}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

Passaggio 1.8.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{6 \cdot 1}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

Passaggio 1.8.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{6 \cdot 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Passaggio 1.8.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{6 \cdot 1}{{(1 + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.8.2.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{6 \cdot 1}{2^{2}}$

Passaggio 1.8.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{6 \cdot 1}{4}$

Passaggio 1.8.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.3.1

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{6}{4}$

Passaggio 1.8.3.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 (3)}{4}$

Passaggio 1.8.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.8.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.8.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{2}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{3}{2}$ e un punto dato $(0, 3)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{3}{2} \cdot (x - (0))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 3 = \frac{3}{2} \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{3}{2} \cdot (x + 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Somma $x$ e $0$ .

$y - 3 = \frac{3}{2} \cdot x$

Passaggio 2.3.1.2

$\frac{3}{2}$ e $x$ .

$y - 3 = \frac{3 x}{2}$

Passaggio 2.3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{3 x}{2} + 3$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{3}{2} x + 3$

Passaggio 3