Calcolo Esempi

$y = 8 \sin (x)$ at the point $(\frac{π}{6}, 4)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = \frac{π}{6}$ e $y = 4$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$8 \cos (x)$

Passaggio 1.3

Calcola la derivata per $x = \frac{π}{6}$ .

$8 \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$2 (4) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \sqrt{3}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $4 \sqrt{3}$ e un punto dato $(\frac{π}{6}, 4)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 4 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 4 = 0 + 0 + 4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} (- \frac{π}{6})$

Passaggio 2.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{6}$ nel numeratore.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} \frac{- π}{6}$

Passaggio 2.3.1.4.2

Scomponi $2$ da $4 \sqrt{3}$ .

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 (2 \sqrt{3}) \frac{- π}{6}$

Passaggio 2.3.1.4.3

Scomponi $2$ da $6$ .

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 (2 \sqrt{3}) \frac{- π}{2 (3)}$

Passaggio 2.3.1.4.4

Elimina il fattore comune.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 (2 \sqrt{3}) \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.1.4.5

Riscrivi l'espressione.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- π}{3}$

Passaggio 2.3.1.5

$\frac{- π}{3}$ e $2$ .

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + \frac{- π \cdot 2}{3} \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.1.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π}{3} \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.1.7

$\frac{- 2 π}{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.3.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.3.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 4$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 2.3.3.2

$4$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 2.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3} + 4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 2.3.3.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3} + 12}{3}$

Passaggio 2.3.3.5

Scomponi $- 1$ da $- 2 π \sqrt{3}$ .

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3}) + 12}{3}$

Passaggio 2.3.3.6

Riscrivi $12$ come $- 1 (- 12)$ .

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3}) - 1 (- 12)}{3}$

Passaggio 2.3.3.7

Scomponi $- 1$ da $- (2 π \sqrt{3}) - 1 (- 12)$ .

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3} - 12)}{3}$

Passaggio 2.3.3.8

Riscrivi $- (2 π \sqrt{3} - 12)$ come $- 1 (2 π \sqrt{3} - 12)$ .

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (2 π \sqrt{3} - 12)}{3}$

Passaggio 2.3.3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3} - 12}{3}$

Passaggio 3