Calcolo Esempi

$f (x) = e^{x^{3} - 1}$ at $x = 1$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = 1$ .

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Passaggio 1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$y = e^{{(1)}^{3} - 1}$

Passaggio 1.2

Semplifica $e^{{(1)}^{3} - 1}$ .

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Passaggio 1.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = e^{1 - 1}$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$y = e^{0}$

Passaggio 1.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{3} - 1$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} - 1$ .

$e^{x^{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

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Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{x^{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$e^{x^{3} - 1} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{x^{3} - 1} (3 x^{2} + 0)$

Passaggio 2.2.4

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$e^{x^{3} - 1} (3 x^{2})$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Riordina i fattori di $e^{x^{3} - 1} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3} - 1} x^{2}$

Passaggio 2.3.2

Riordina i fattori in $3 e^{x^{3} - 1} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3} - 1}$

Passaggio 2.4

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$3 {(1)}^{2} e^{{(1)}^{3} - 1}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 \cdot 1 e^{{(1)}^{3} - 1}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 e^{{(1)}^{3} - 1}$

Passaggio 2.5.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 e^{1 - 1}$

Passaggio 2.5.4

Sottrai $1$ da $1$ .

$3 e^{0}$

Passaggio 2.5.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 2.5.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $3$ e un punto dato $(1, 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 3 \cdot (x - (1))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 1 = 3 \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Semplifica $3 \cdot (x - 1)$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 + 3 \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 = 3 \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = 3 x + 3 \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$y - 1 = 3 x - 3$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 3 x - 3 + 1$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $- 3$ e $1$ .

$y = 3 x - 2$

Passaggio 4