Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{2} x \ln (x^{2})$ , $(- 1, 0)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = - 1$ e $y = 0$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1.1

$x$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} \cdot \ln (x^{2})]$

Passaggio 1.1.2

$\frac{x}{2}$ e $\ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x^{2})}{2}]$

Passaggio 1.1.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x \ln (x^{2})}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2})]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$\frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 1.4.1

$\frac{1}{x^{2}}$ e $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

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Passaggio 1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{1}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.2.3

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.4.2.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.4.4.1

$2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{x} x + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.4.2

$\frac{2}{x}$ e $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.4.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.4.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.4.3.2

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}) \cdot 1)$

Passaggio 1.4.6

Moltiplica $\ln (x^{2})$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}))$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

Passaggio 1.5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.5.2.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

Passaggio 1.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

Passaggio 1.5.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} \ln (x^{2}) + 1$

Passaggio 1.5.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.4.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (x^{2})$ .

$\frac{\ln (x^{2})}{2} + 1$

Passaggio 1.5.4.2

Espandi $\ln (x^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$\frac{2 \ln (x)}{2} + 1$

Passaggio 1.5.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.5.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \ln (x)}{2} + 1$

Passaggio 1.5.4.3.2

Dividi $\ln (x)$ per $1$ .

$\ln (x) + 1$

Passaggio 1.6

Calcola la derivata per $x = - 1$ .

$\ln (- 1) + 1$

Passaggio 1.7

Il logaritmo naturale di un numero negativo è indefinito.

Indefinito

Passaggio 2

Il coefficiente angolare della retta è indefinito; ciò significa che è perpendicolare rispetto all'asse x con $x = - 1$ .

$x = - 1$

Passaggio 3