Calcolo Esempi

$x^{2} - y^{2} - 3 x - 19 = 0$ , $(- 4, 3)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = - 4$ e $y = 3$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - y^{2} - 3 x - 19) = \frac{d}{d x} (0)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - y^{2} - 3 x - 19$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Passaggio 1.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Passaggio 1.2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Passaggio 1.2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Passaggio 1.2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x - (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Passaggio 1.2.2.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 x - 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 y y' - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x - 2 y y' - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 19]$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$2 x - 2 y y' - 3 + \frac{d}{d x} [- 19]$

Passaggio 1.2.4

Poiché $- 19$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 19$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x - 2 y y' - 3 + 0$

Passaggio 1.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Somma $2 x - 2 y y' - 3$ e $0$ .

$2 x - 2 y y' - 3$

Passaggio 1.2.5.2

Riordina i termini.

$- 2 y y' + 2 x - 3$

Passaggio 1.3

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- 2 y y' + 2 x - 3 = 0$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 y y' - 3 = - 2 x$

Passaggio 1.5.1.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 y y' = - 2 x + 3$

Passaggio 1.5.2

Dividi per $- 2 y$ ciascun termine in $- 2 y y' = - 2 x + 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Dividi per $- 2 y$ ciascun termine in $- 2 y y' = - 2 x + 3$ .

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Passaggio 1.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Passaggio 1.5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Passaggio 1.5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Passaggio 1.5.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Passaggio 1.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Passaggio 1.5.2.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{x}{y} + \frac{3}{- 2 y}$

Passaggio 1.5.2.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{x}{y} - \frac{3}{2 y}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - \frac{3}{2 y}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = - 4$ e $y = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$\frac{- 4}{y} - \frac{3}{2 y}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $3$ nell'espressione.

$\frac{- 4}{3} - \frac{3}{2 (3)}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{3} - \frac{3}{2 (3)}$

Passaggio 1.7.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{4}{3} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.7.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{4}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.7.4

Per scrivere $- \frac{4}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.7.5

Per scrivere $- \frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 1.7.6

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.1

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 1.7.6.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 1.7.6.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.7.6.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}$

Passaggio 1.7.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 4 \cdot 2 - 3}{6}$

Passaggio 1.7.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.8.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$\frac{- 8 - 3}{6}$

Passaggio 1.7.8.2

Sottrai $3$ da $- 8$ .

$\frac{- 11}{6}$

Passaggio 1.7.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{11}{6}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{11}{6}$ e un punto dato $(- 4, 3)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{11}{6} \cdot (x - (- 4))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 3 = - \frac{11}{6} \cdot (x + 4)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{11}{6} \cdot (x + 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{11}{6} \cdot (x + 4)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y - 3 = - \frac{11}{6} x - \frac{11}{6} \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.2.2

$x$ e $\frac{11}{6}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} - \frac{11}{6} \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{11}{6}$ nel numeratore.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{6} \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.2.3.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{2 (3)} \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.2.3.3

Scomponi $2$ da $4$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2)$

Passaggio 2.3.1.2.3.4

Elimina il fattore comune.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2)$

Passaggio 2.3.1.2.3.5

Riscrivi l'espressione.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{3} \cdot 2$

Passaggio 2.3.1.2.4

$\frac{- 11}{3}$ e $2$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11 \cdot 2}{3}$

Passaggio 2.3.1.2.5

Moltiplica $- 11$ per $2$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 22}{3}$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Sposta $11$ alla sinistra di $x$ .

$y - 3 = - \frac{11 \cdot x}{6} + \frac{- 22}{3}$

Passaggio 2.3.1.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - 3 = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3} + 3$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 2.3.2.3

$3$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{11 x}{6} + \frac{- 22 + 3 \cdot 3}{3}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y = - \frac{11 x}{6} + \frac{- 22 + 9}{3}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Somma $- 22$ e $9$ .

$y = - \frac{11 x}{6} + \frac{- 13}{3}$

Passaggio 2.3.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{13}{3}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{11}{6} x) - \frac{13}{3}$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{11}{6} x - \frac{13}{3}$

Passaggio 3