Calcolo Esempi

$x^{2} - x y - y^{2} = 1$ , $(1, 0)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = 0$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - x y - y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x y - y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 1.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 1.2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 1.2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 1.2.2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 x - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 x - (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x - (x y' + y) - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 x - (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x - (x y' + y) - (2 y y')$

Passaggio 1.2.3.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 x - (x y' + y) - 2 y y'$

Passaggio 1.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x - (x y') - y - 2 y y'$

Passaggio 1.2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 x - x y' - y - 2 y y'$

Passaggio 1.2.4.3

Riordina i termini.

$- x y' - 2 y y' + 2 x - y$

Passaggio 1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- x y' - 2 y y' + 2 x - y = 0$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x y' - 2 y y' - y = - 2 x$

Passaggio 1.5.1.2

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x y' - 2 y y' = - 2 x + y$

Passaggio 1.5.2

Scomponi $y'$ da $- x y' - 2 y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $y'$ da $- x y'$ .

$y' (- x) - 2 y y' = - 2 x + y$

Passaggio 1.5.2.2

Scomponi $y'$ da $- 2 y y'$ .

$y' (- x) + y' (- 2 y) = - 2 x + y$

Passaggio 1.5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (- x) + y' (- 2 y)$ .

$y' (- x - 2 y) = - 2 x + y$

Passaggio 1.5.3

Dividi per $- x - 2 y$ ciascun termine in $y' (- x - 2 y) = - 2 x + y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Dividi per $- x - 2 y$ ciascun termine in $y' (- x - 2 y) = - 2 x + y$ .

$\frac{y' (- x - 2 y)}{- x - 2 y} = \frac{- 2 x}{- x - 2 y} + \frac{y}{- x - 2 y}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- x - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- x - 2 y)}{- x - 2 y} = \frac{- 2 x}{- x - 2 y} + \frac{y}{- x - 2 y}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- x - 2 y} + \frac{y}{- x - 2 y}$

Passaggio 1.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 2 x + y}{- x - 2 y}$

Passaggio 1.5.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) + y}{- x - 2 y}$

Passaggio 1.5.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- y)}{- x - 2 y}$

Passaggio 1.5.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (2 x - y)}{- x - 2 y}$

Passaggio 1.5.3.3.5

Riscrivi $- (2 x - y)$ come $- 1 (2 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- x - 2 y}$

Passaggio 1.5.3.3.6

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - 2 y}$

Passaggio 1.5.3.3.7

Scomponi $- 1$ da $- 2 y$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - (2 y)}$

Passaggio 1.5.3.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x + 2 y)}$

Passaggio 1.5.3.3.9

Riscrivi $- (x + 2 y)$ come $- 1 (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x + 2 y)}$

Passaggio 1.5.3.3.10

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x + 2 y)}$

Passaggio 1.5.3.3.11

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{2 x - y}{x + 2 y}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y}{x + 2 y}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 1$ e $y = 0$ .

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Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$\frac{2 (1) - y}{(1) + 2 y}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $0$ nell'espressione.

$\frac{2 (1) - (0)}{(1) + 2 (0)}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 - (0)}{1 + 2 (0)}$

Passaggio 1.7.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{2 + 0}{1 + 2 (0)}$

Passaggio 1.7.3.3

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{2}{1 + 2 (0)}$

Passaggio 1.7.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{2}{1 + 0}$

Passaggio 1.7.4.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2}{1}$

Passaggio 1.7.5

Dividi $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $2$ e un punto dato $(1, 0)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 2 \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 0 = 2 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Somma $y$ e $0$ .

$y = 2 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $2 \cdot (x - 1)$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = 2 x + 2 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = 2 x - 2$

Passaggio 3