Calcolo Esempi

$f (x) = - x^{3} - 3 x^{2} - 3$ at $x = - 3$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = - 3$ .

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Passaggio 1.1

Sostituisci $- 3$ a $x$ .

$y = - {(- 3)}^{3} - 3 {(- 3)}^{2} - 3$

Passaggio 1.2

Semplifica $- {(- 3)}^{3} - 3 {(- 3)}^{2} - 3$ .

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Passaggio 1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$y = - - 27 - 3 {(- 3)}^{2} - 3$

Passaggio 1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 27$ .

$y = 27 - 3 {(- 3)}^{2} - 3$

Passaggio 1.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per ${(- 3)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.1.3.1

Moltiplica $- 3$ per ${(- 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.3.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $1$ .

$y = 27 + {(- 3)}^{1} {(- 3)}^{2} - 3$

Passaggio 1.2.1.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = 27 + {(- 3)}^{1 + 2} - 3$

Passaggio 1.2.1.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$y = 27 + {(- 3)}^{3} - 3$

Passaggio 1.2.1.4

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$y = 27 - 27 - 3$

Passaggio 1.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 1.2.2.1

Sottrai $27$ da $27$ .

$y = 0 - 3$

Passaggio 1.2.2.2

Sottrai $3$ da $0$ .

$y = - 3$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = - 3$ e $y = - 3$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{3} - 3 x^{2} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$- 3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 x^{2} - 6 x + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $- 3 x^{2} - 6 x$ e $0$ .

$- 3 x^{2} - 6 x$

Passaggio 2.5

Calcola la derivata per $x = - 3$ .

$- 3 {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3$

Passaggio 2.6

Semplifica.

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Passaggio 2.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.6.1.1

Moltiplica $- 3$ per ${(- 3)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.6.1.1.1

Moltiplica $- 3$ per ${(- 3)}^{2}$ .

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Passaggio 2.6.1.1.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $1$ .

${(- 3)}^{1} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3$

Passaggio 2.6.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(- 3)}^{1 + 2} - 6 \cdot - 3$

Passaggio 2.6.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

${(- 3)}^{3} - 6 \cdot - 3$

Passaggio 2.6.1.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$- 27 - 6 \cdot - 3$

Passaggio 2.6.1.3

Moltiplica $- 6$ per $- 3$ .

$- 27 + 18$

Passaggio 2.6.2

Somma $- 27$ e $18$ .

$- 9$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 9$ e un punto dato $(- 3, - 3)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 3) = - 9 \cdot (x - (- 3))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 3 = - 9 \cdot (x + 3)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Semplifica $- 9 \cdot (x + 3)$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y + 3 = 0 + 0 - 9 \cdot (x + 3)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y + 3 = - 9 \cdot (x + 3)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + 3 = - 9 x - 9 \cdot 3$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $- 9$ per $3$ .

$y + 3 = - 9 x - 27$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 9 x - 27 - 3$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $3$ da $- 27$ .

$y = - 9 x - 30$

Passaggio 4