Calcolo Esempi

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$ at $(- 5, \frac{1}{6})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = - 5$ e $y = \frac{1}{6}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x - 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{1}{x - 1}$ come ${(x - 1)}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 1}] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$- (- {(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.4

Differenzia.

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Passaggio 1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 ({(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica ${(x - 1)}^{- 2}$ per $1$ .

${(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

${(x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

${(x - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.4.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.4.6.1

Somma $1$ e $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.4.6.2

Moltiplica ${(x - 1)}^{- 2}$ per $1$ .

${(x - 1)}^{- 2} + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.4.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} + \frac{1}{x - 1} \cdot 0$

Passaggio 1.4.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.4.8.1

Moltiplica $\frac{1}{x - 1}$ per $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} + 0$

Passaggio 1.4.8.2

Somma ${(x - 1)}^{- 2}$ e $0$ .

${(x - 1)}^{- 2}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.6

Calcola la derivata per $x = - 5$ .

$\frac{1}{{((- 5) - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.7

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.7.1

Sottrai $1$ da $- 5$ .

$\frac{1}{{(- 6)}^{2}}$

Passaggio 1.7.2

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{36}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{1}{36}$ e un punto dato $(- 5, \frac{1}{6})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{6}) = \frac{1}{36} \cdot (x - (- 5))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{1}{36} \cdot (x + 5)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - \frac{1}{6} = 0 + 0 + \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} x + \frac{1}{36} \cdot 5$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{1}{36}$ e $x$ .

$y - \frac{1}{6} = \frac{x}{36} + \frac{1}{36} \cdot 5$

Passaggio 2.3.1.5

$\frac{1}{36}$ e $5$ .

$y - \frac{1}{6} = \frac{x}{36} + \frac{5}{36}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $\frac{1}{6}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{6}$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $\frac{1}{6}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{6}$

Passaggio 2.3.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $36$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{6}{6}$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{6}{6 \cdot 6}$

Passaggio 2.3.2.3.2

Moltiplica $6$ per $6$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{6}{36}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x}{36} + \frac{5 + 6}{36}$

Passaggio 2.3.2.5

Somma $5$ e $6$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{11}{36}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{36} x + \frac{11}{36}$

Passaggio 3