Calcolo Esempi

$y = x^{\sin (x)}$ , $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = \frac{π}{2}$ e $y = \frac{π}{2}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $x^{\sin (x)}$ come $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sin (x)})}]$

Passaggio 1.1.2

Espandi $\ln (x^{\sin (x)})$ spostando $\sin (x)$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (x)}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \sin (x) \ln (x)$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x) \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.4

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.5

$\sin (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.6

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

Passaggio 1.7

Semplifica.

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Passaggio 1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{\sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} (\ln (x) \cos (x))$

Passaggio 1.7.2

$e^{\sin (x) \ln (x)}$ e $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} \ln (x) \cos (x)$

Passaggio 1.7.3

Riordina i termini.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \cos (x) \ln (x) + \frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x}$

Passaggio 1.8

Calcola la derivata per $x = \frac{π}{2}$ .

$e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Passaggio 1.9

Semplifica.

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Passaggio 1.9.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.9.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Passaggio 1.9.1.2

Semplifica $1 \ln (\frac{π}{2})$ spostando $1$ all'interno del logaritmo.

$e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Passaggio 1.9.1.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

${(\frac{π}{2})}^{1} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Passaggio 1.9.1.4

Semplifica.

$\frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Passaggio 1.9.1.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{π}{2} \cdot 0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Passaggio 1.9.1.6

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $0$ .

$0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Passaggio 1.9.1.7

Moltiplica $0$ per $\ln (\frac{π}{2})$ .

$0 + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Passaggio 1.9.1.8

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$0 + e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Passaggio 1.9.1.9

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 + e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Passaggio 1.9.1.10

Semplifica $1 \ln (\frac{π}{2})$ spostando $1$ all'interno del logaritmo.

$0 + e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Passaggio 1.9.1.11

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$0 + {(\frac{π}{2})}^{1} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Passaggio 1.9.1.12

Semplifica.

$0 + \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Passaggio 1.9.1.13

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 + \frac{π}{2} \cdot 1 \frac{2}{π}$

Passaggio 1.9.1.14

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $1$ .

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Passaggio 1.9.1.15

Elimina il fattore comune di $π$ .

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Passaggio 1.9.1.15.1

Elimina il fattore comune.

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Passaggio 1.9.1.15.2

Riscrivi l'espressione.

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

Passaggio 1.9.1.16

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.9.1.16.1

Elimina il fattore comune.

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

Passaggio 1.9.1.16.2

Riscrivi l'espressione.

$0 + 1$

Passaggio 1.9.2

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $1$ e un punto dato $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{2}) = 1 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{π}{2} = 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $x - \frac{π}{2}$ per $1$ .

$y - \frac{π}{2} = x - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $\frac{π}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

Passaggio 2.3.2.2

Combina i termini opposti in $x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 2.3.2.2.1

Somma $- \frac{π}{2}$ e $\frac{π}{2}$ .

$y = x + 0$

Passaggio 2.3.2.2.2

Somma $x$ e $0$ .

$y = x$

Passaggio 3