Calcolo Esempi

$y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2} = 0$ , $(0, 4)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = 4$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = y^{2}$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$y^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.6

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.7

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.8

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$y^{2} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.9

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$2 \cdot y^{2} e^{2 x} + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.10

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 y$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - (2 x)$

Passaggio 1.2.4.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - 2 x$

Passaggio 1.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Riordina i termini.

$2 e^{2 x} y^{2} + 2 e^{2 x} y y' - 2 x - 4 y'$

Passaggio 1.2.5.2

Riordina i fattori in $2 e^{2 x} y^{2} + 2 e^{2 x} y y' - 2 x - 4 y'$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y'$

Passaggio 1.3

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y' = 0$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Riordina i fattori in $2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y'$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y y' e^{2 x} - 2 x - 4 y' = 0$

Passaggio 1.5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Sottrai $2 y^{2} e^{2 x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y y' e^{2 x} - 2 x - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x}$

Passaggio 1.5.2.2

Somma $2 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 y y' e^{2 x} - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Passaggio 1.5.3

Scomponi $2 y'$ da $2 y y' e^{2 x} - 4 y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Scomponi $2 y'$ da $2 y y' e^{2 x}$ .

$2 y' (y e^{2 x}) - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Passaggio 1.5.3.2

Scomponi $2 y'$ da $- 4 y'$ .

$2 y' (y e^{2 x}) + 2 y' \cdot - 2 = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Passaggio 1.5.3.3

Scomponi $2 y'$ da $2 y' (y e^{2 x}) + 2 y' \cdot - 2$ .

$2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Passaggio 1.5.4

Dividi per $2 (y e^{2 x} - 2)$ ciascun termine in $2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Dividi per $2 (y e^{2 x} - 2)$ ciascun termine in $2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$ .

$\frac{2 y' (y e^{2 x} - 2)}{2 (y e^{2 x} - 2)} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y' (y e^{2 x} - 2)}{2 (y e^{2 x} - 2)} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (y e^{2 x} - 2)}{y e^{2 x} - 2} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Passaggio 1.5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $y e^{2 x} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (y e^{2 x} - 2)}{y e^{2 x} - 2} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Passaggio 1.5.4.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Passaggio 1.5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 y^{2} e^{2 x}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} e^{2 x})}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Passaggio 1.5.4.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (- y^{2} e^{2 x})}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Passaggio 1.5.4.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Passaggio 1.5.4.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Passaggio 1.5.4.3.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Passaggio 1.5.4.3.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{x}{y e^{2 x} - 2}$

Passaggio 1.5.4.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- y^{2} e^{2 x} + x}{y e^{2 x} - 2}$

Passaggio 1.5.4.3.2.2

Scomponi $- 1$ da $- y^{2} e^{2 x}$ .

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x}) + x}{y e^{2 x} - 2}$

Passaggio 1.5.4.3.2.3

Scomponi $- 1$ da $x$ .

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x}) - 1 (- x)}{y e^{2 x} - 2}$

Passaggio 1.5.4.3.2.4

Scomponi $- 1$ da $- (y^{2} e^{2 x}) - 1 (- x)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x} - x)}{y e^{2 x} - 2}$

Passaggio 1.5.4.3.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.2.5.1

Riscrivi $- (y^{2} e^{2 x} - x)$ come $- 1 (y^{2} e^{2 x} - x)$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} e^{2 x} - x)}{y e^{2 x} - 2}$

Passaggio 1.5.4.3.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x} - x}{y e^{2 x} - 2}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} e^{2 x} - x}{y e^{2 x} - 2}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 0$ e $y = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$- \frac{y^{2} e^{2 (0)} - (0)}{y e^{2 (0)} - 2}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $4$ nell'espressione.

$- \frac{{(4)}^{2} e^{2 (0)} - (0)}{(4) \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Riscrivi $4^{2} e^{2 (0)}$ come ${(4 e^{0})}^{2}$ .

$- \frac{{(4 e^{0})}^{2} - (0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Passaggio 1.7.3.2

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$- \frac{{(4 e^{0})}^{2} - 0^{2}}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Passaggio 1.7.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 4 e^{0}$ e $b = 0$ .

$- \frac{(4 e^{0} + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Passaggio 1.7.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.4.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- \frac{(4 \cdot 1 + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Passaggio 1.7.3.4.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- \frac{(4 + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Passaggio 1.7.3.4.3

Somma $4$ e $0$ .

$- \frac{4 (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Passaggio 1.7.3.4.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- \frac{4 (4 \cdot 1 + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Passaggio 1.7.3.4.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- \frac{4 (4 + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Passaggio 1.7.3.4.6

Somma $4$ e $0$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Passaggio 1.7.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot e^{0} - 2}$

Passaggio 1.7.4.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1 - 2}$

Passaggio 1.7.4.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 - 2}$

Passaggio 1.7.4.4

Sottrai $2$ da $4$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{2}$

Passaggio 1.7.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$- \frac{16}{2}$

Passaggio 1.7.5.2

Dividi $16$ per $2$ .

$- 1 \cdot 8$

Passaggio 1.7.5.3

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 8$ e un punto dato $(0, 4)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 8 \cdot (x - (0))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 4 = - 8 \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Somma $x$ e $0$ .

$y - 4 = - 8 x$

Passaggio 2.3.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 8 x + 4$

Passaggio 3