Calcolo Esempi

$y = \ln (x^{2} - 7 x + 1)$ , $(7, 0)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 7$ e $y = 0$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} - 7 x + 1$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 7 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x + 1]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x + 1]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 7 x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 7 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x + 1]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 7 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 7 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 7 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 7 x + 1} (2 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 7 x + 1} (2 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 7 x + 1} (2 x - 7 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 7 x + 1} (2 x - 7 + 0)$

Passaggio 1.2.7

Somma $2 x - 7$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 7 x + 1} (2 x - 7)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{x^{2} - 7 x + 1} (2 x - 7)$ .

$(2 x - 7) \frac{1}{x^{2} - 7 x + 1}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $2 x - 7$ per $\frac{1}{x^{2} - 7 x + 1}$ .

$\frac{2 x - 7}{x^{2} - 7 x + 1}$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = 7$ .

$\frac{2 (7) - 7}{{(7)}^{2} - 7 \cdot 7 + 1}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.5.1.1

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{14 - 7}{7^{2} - 7 \cdot 7 + 1}$

Passaggio 1.5.1.2

Sottrai $7$ da $14$ .

$\frac{7}{7^{2} - 7 \cdot 7 + 1}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.5.2.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$\frac{7}{49 - 7 \cdot 7 + 1}$

Passaggio 1.5.2.2

Moltiplica $- 7$ per $7$ .

$\frac{7}{49 - 49 + 1}$

Passaggio 1.5.2.3

Sottrai $49$ da $49$ .

$\frac{7}{0 + 1}$

Passaggio 1.5.2.4

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{7}{1}$

Passaggio 1.5.3

Dividi $7$ per $1$ .

$7$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $7$ e un punto dato $(7, 0)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 7 \cdot (x - (7))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 0 = 7 \cdot (x - 7)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Somma $y$ e $0$ .

$y = 7 \cdot (x - 7)$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $7 \cdot (x - 7)$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = 7 x + 7 \cdot - 7$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica $7$ per $- 7$ .

$y = 7 x - 49$

Passaggio 3