Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{2 x}$ at $(32, 8)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 32$ e $y = 8$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 x}$ come ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.3

Applica la regola del prodotto a $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $2^{\frac{1}{2}}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 1.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.10

$2^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.11.1

Sposta $2^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.11.2

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.12

Moltiplica $2$ per $2^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.12.1

Moltiplica $2$ per $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 1.12.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.12.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.12.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.12.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.12.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13

Calcola la derivata per $x = 32$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(32)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.14

Semplifica.

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Passaggio 1.14.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.14.1.1

Riscrivi $32$ come $2^{5}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot {(2^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.14.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{5})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 1.14.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{5 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 1.14.1.2.2

$5$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 1.14.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2} + \frac{5}{2}}}$

Passaggio 1.14.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2^{\frac{1 + 5}{2}}}$

Passaggio 1.14.1.5

Somma $1$ e $5$ .

$\frac{1}{2^{\frac{6}{2}}}$

Passaggio 1.14.1.6

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

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Passaggio 1.14.1.6.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 3}{2}}}$

Passaggio 1.14.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.14.1.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}}$

Passaggio 1.14.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}}$

Passaggio 1.14.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2^{\frac{3}{1}}}$

Passaggio 1.14.1.6.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$\frac{1}{2^{3}}$

Passaggio 1.14.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{8}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{1}{8}$ e un punto dato $(32, 8)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = \frac{1}{8} \cdot (x - (32))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 8 = \frac{1}{8} \cdot (x - 32)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{1}{8} \cdot (x - 32)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 8 = 0 + 0 + \frac{1}{8} \cdot (x - 32)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 8 = \frac{1}{8} \cdot (x - 32)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 8 = \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} \cdot - 32$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{1}{8}$ e $x$ .

$y - 8 = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot - 32$

Passaggio 2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $8$ .

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Passaggio 2.3.1.5.1

Scomponi $8$ da $- 32$ .

$y - 8 = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot (8 (- 4))$

Passaggio 2.3.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$y - 8 = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot - 4)$

Passaggio 2.3.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$y - 8 = \frac{x}{8} - 4$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{x}{8} - 4 + 8$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $- 4$ e $8$ .

$y = \frac{x}{8} + 4$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{8} x + 4$

Passaggio 3