Calcolo Esempi

$y = 8 x \sin (x)$ , $(\frac{π}{2}, 4 π)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = \frac{π}{2}$ e $y = 4 π$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x \sin (x)$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$8 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 1.4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$8 (x \cos (x) + \sin (x))$

Passaggio 1.5

Applica la proprietà distributiva.

$8 x \cos (x) + 8 \sin (x)$

Passaggio 1.6

Calcola la derivata per $x = \frac{π}{2}$ .

$8 (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2}) + 8 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.7

Semplifica.

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Passaggio 1.7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.7.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.7.1.1.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$2 (4) \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) + 8 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.7.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 4 \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) + 8 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.7.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$4 π \cos (\frac{π}{2}) + 8 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.7.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$4 π \cdot 0 + 8 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.7.1.3

Moltiplica $4 π \cdot 0$ .

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Passaggio 1.7.1.3.1

Moltiplica $0$ per $4$ .

$0 π + 8 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.7.1.3.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$0 + 8 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.7.1.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 + 8 \cdot 1$

Passaggio 1.7.1.5

Moltiplica $8$ per $1$ .

$0 + 8$

Passaggio 1.7.2

Somma $0$ e $8$ .

$8$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $8$ e un punto dato $(\frac{π}{2}, 4 π)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4 π) = 8 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 4 π = 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $8 \cdot (x - \frac{π}{2})$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 4 π = 0 + 0 + 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 4 π = 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 4 π = 8 x + 8 (- \frac{π}{2})$

Passaggio 2.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{2}$ nel numeratore.

$y - 4 π = 8 x + 8 \frac{- π}{2}$

Passaggio 2.3.1.4.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$y - 4 π = 8 x + 2 (4) \frac{- π}{2}$

Passaggio 2.3.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$y - 4 π = 8 x + 2 \cdot 4 \frac{- π}{2}$

Passaggio 2.3.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$y - 4 π = 8 x + 4 (- π)$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y - 4 π = 8 x - 4 π$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $4 π$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 8 x - 4 π + 4 π$

Passaggio 2.3.2.2

Combina i termini opposti in $8 x - 4 π + 4 π$ .

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Passaggio 2.3.2.2.1

Somma $- 4 π$ e $4 π$ .

$y = 8 x + 0$

Passaggio 2.3.2.2.2

Somma $8 x$ e $0$ .

$y = 8 x$

Passaggio 3