Calcolo Esempi

$y = \frac{e^{8 x}}{x}$ , $(\frac{1}{8}, 8 e)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = \frac{1}{8}$ e $y = 8 e$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{8 x}$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{8 x}] - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [8 x]) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{x (e^{u} \frac{d}{d x} [8 x]) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 x$ .

$\frac{x (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x (e^{8 x} (8 \cdot 1)) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $8$ per $1$ .

$\frac{x (e^{8 x} \cdot 8) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta $8$ alla sinistra di $e^{8 x}$ .

$\frac{x (8 \cdot e^{8 x}) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x (8 e^{8 x}) - e^{8 x} \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x (8 e^{8 x}) - e^{8 x}}{x^{2}}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{8 x e^{8 x} - e^{8 x}}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Riordina i termini.

$\frac{8 e^{8 x} x - e^{8 x}}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.3

Scomponi $e^{8 x}$ da $8 e^{8 x} x - e^{8 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Scomponi $e^{8 x}$ da $8 e^{8 x} x$ .

$\frac{e^{8 x} (8 x) - e^{8 x}}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.3.2

Scomponi $e^{8 x}$ da $- e^{8 x}$ .

$\frac{e^{8 x} (8 x) + e^{8 x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.3.3

Scomponi $e^{8 x}$ da $e^{8 x} (8 x) + e^{8 x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{8 x} (8 x - 1)}{x^{2}}$

Passaggio 1.5

Calcola la derivata per $x = \frac{1}{8}$ .

$\frac{e^{8 (\frac{1}{8})} (8 (\frac{1}{8}) - 1)}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{8 (\frac{1}{8})} (8 (\frac{1}{8}) - 1)}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 1.6.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{8 (\frac{1}{8})} (1 - 1)}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 1.6.1.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{e^{8 (\frac{1}{8})} \cdot 0}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 1.6.1.3

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{8 (\frac{1}{8})} \cdot 0}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 1.6.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{1} \cdot 0}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 1.6.1.4

Semplifica.

$\frac{e \cdot 0}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 1.6.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{8}$ .

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1^{2}}{8^{2}}}$

Passaggio 1.6.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1}{8^{2}}}$

Passaggio 1.6.2.3

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1}{64}}$

Passaggio 1.6.3

Moltiplica $e$ per $0$ .

$\frac{0}{\frac{1}{64}}$

Passaggio 1.6.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$0 \cdot 64$

Passaggio 1.6.5

Moltiplica $0$ per $64$ .

$0$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $0$ e un punto dato $(\frac{1}{8}, 8 e)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8 e) = 0 \cdot (x - (\frac{1}{8}))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 8 e = 0 \cdot (x - \frac{1}{8})$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $0$ per $x - \frac{1}{8}$ .

$y - 8 e = 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $8 e$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 8 e$

Passaggio 3