Calcolo Esempi

$2 x^{2} + y^{3} = 5 y + 3 x$ , $(2, 2)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = 2$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (5 y + 3 x)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$4 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 x + 3 y^{2} y'$

Passaggio 1.2.4

Riordina i termini.

$3 y^{2} y' + 4 x$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 y + 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 y$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$5 y' + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 y' + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 y' + 3 \cdot 1$

Passaggio 1.3.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$5 y' + 3$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 y^{2} y' + 4 x = 5 y' + 3$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sottrai $5 y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' + 4 x - 5 y' = 3$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $4 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' - 5 y' = 3 - 4 x$

Passaggio 1.5.3

Scomponi $y'$ da $3 y^{2} y' - 5 y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Scomponi $y'$ da $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 5 y' = 3 - 4 x$

Passaggio 1.5.3.2

Scomponi $y'$ da $- 5 y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 5 = 3 - 4 x$

Passaggio 1.5.3.3

Scomponi $y'$ da $y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 5$ .

$y' (3 y^{2} - 5) = 3 - 4 x$

Passaggio 1.5.4

Dividi per $3 y^{2} - 5$ ciascun termine in $y' (3 y^{2} - 5) = 3 - 4 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Dividi per $3 y^{2} - 5$ ciascun termine in $y' (3 y^{2} - 5) = 3 - 4 x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 5)}{3 y^{2} - 5} = \frac{3}{3 y^{2} - 5} + \frac{- 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3 y^{2} - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (3 y^{2} - 5)}{3 y^{2} - 5} = \frac{3}{3 y^{2} - 5} + \frac{- 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{3}{3 y^{2} - 5} + \frac{- 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Passaggio 1.5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{3}{3 y^{2} - 5} - \frac{4 x}{3 y^{2} - 5}$

Passaggio 1.5.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{3 - 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 - 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 2$ e $y = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$\frac{3 - 4 \cdot 2}{3 y^{2} - 5}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $2$ nell'espressione.

$\frac{3 - 4 \cdot 2}{3 {(2)}^{2} - 5}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$\frac{3 - 8}{3 \cdot 2^{2} - 5}$

Passaggio 1.7.3.2

Sottrai $8$ da $3$ .

$\frac{- 5}{3 \cdot 2^{2} - 5}$

Passaggio 1.7.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 5}{3 \cdot 4 - 5}$

Passaggio 1.7.4.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{- 5}{12 - 5}$

Passaggio 1.7.4.3

Sottrai $5$ da $12$ .

$\frac{- 5}{7}$

Passaggio 1.7.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5}{7}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{5}{7}$ e un punto dato $(2, 2)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - \frac{5}{7} \cdot (x - (2))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 2 = - \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 2 = 0 + 0 - \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 2 = - \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 2 = - \frac{5}{7} x - \frac{5}{7} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.4

$x$ e $\frac{5}{7}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} - \frac{5}{7} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $- \frac{5}{7} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} + 2 (\frac{5}{7})$

Passaggio 2.3.1.5.2

$2$ e $\frac{5}{7}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{2 \cdot 5}{7}$

Passaggio 2.3.1.5.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{10}{7}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$y - 2 = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7} + 2$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7} + 2 \cdot \frac{7}{7}$

Passaggio 2.3.2.3

$2$ e $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7} + \frac{2 \cdot 7}{7}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10 + 2 \cdot 7}{7}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $2$ per $7$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10 + 14}{7}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Somma $10$ e $14$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{24}{7}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{5}{7} x) + \frac{24}{7}$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{5}{7} x + \frac{24}{7}$

Passaggio 3