Calcolo Esempi

$f (x) = - 3 \cos (x)$ at $x = \frac{3}{4} π$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = \frac{3}{4} \cdot π$ .

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Passaggio 1.1

Sostituisci $\frac{3}{4} \cdot π$ a $x$ .

$y = - 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$

Passaggio 1.2.2

Semplifica $- 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$ .

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Passaggio 1.2.2.1

$\frac{3}{4}$ e $π$ .

$y = - 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 1.2.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$y = - 3 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Passaggio 1.2.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 1.2.2.4

Moltiplica $- 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Passaggio 1.2.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$y = 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 1.2.2.4.2

$3$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = \frac{3}{4} π$ e $y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- 3 (- \sin (x))$

Passaggio 2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$3 \sin (x)$

Passaggio 2.4

Calcola la derivata per $x = \frac{3}{4} \cdot π$ .

$3 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

$\frac{3}{4}$ e $π$ .

$3 \sin (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 2.5.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$3 \sin (\frac{π}{4})$

Passaggio 2.5.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.5.4

$3$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ e un punto dato $(\frac{3}{4} \cdot π, \frac{3 \sqrt{2}}{2})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - (\frac{3}{4} \cdot π))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Semplifica $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = 0 + 0 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$

Passaggio 3.3.1.4

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ e $x$ .

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$ .

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Passaggio 3.3.1.5.1

Moltiplica $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{3 π}{4}$ .

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} (3 π)}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.1.5.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.1.5.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8}$

Passaggio 3.3.2

Somma $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 3.3.3.1

Per scrivere $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 3.3.3.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 3.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Passaggio 3.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 9 \sqrt{2} π + 3 \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Passaggio 3.3.3.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 9 \sqrt{2} π + 12 \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 3.3.3.5

Scomponi $- 1$ da $- 9 \sqrt{2} π$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π) + 12 \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 3.3.3.6

Scomponi $- 1$ da $12 \sqrt{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π) - (- 12 \sqrt{2})}{8}$

Passaggio 3.3.3.7

Scomponi $- 1$ da $- (9 \sqrt{2} π) - (- 12 \sqrt{2})$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})}{8}$

Passaggio 3.3.3.8

Riscrivi $- (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})$ come $- 1 (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 1 (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})}{8}$

Passaggio 3.3.3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 3.3.3.10

Riordina i termini.

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x - \frac{9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 4