Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} {(3 - x)}^{4}$ ; $x = 2$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$y = {(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 2^{3} {(3 - (2))}^{4}$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = {(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica ${(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$y = 8 {(3 - (2))}^{4}$

Passaggio 1.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = 8 {(3 - 2)}^{4}$

Passaggio 1.2.3.3

Sottrai $2$ da $3$ .

$y = 8 \cdot 1^{4}$

Passaggio 1.2.3.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = 8 \cdot 1$

Passaggio 1.2.3.5

Moltiplica $8$ per $1$ .

$y = 8$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = 8$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = {(3 - x)}^{4}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{4}] + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 3 - x$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 - x$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$x^{3} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 - x$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3

Differenzia.

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Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [- x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3} \cdot 1) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + {(3 - x)}^{4} (3 x^{2})$

Passaggio 2.3.9

Sposta $3$ alla sinistra di ${(3 - x)}^{4}$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + 3 \cdot {(3 - x)}^{4} x^{2}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Scomponi $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ da $x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + 3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$ .

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Passaggio 2.4.1.1

Scomponi $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ da $x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3})$ .

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + 3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$

Passaggio 2.4.1.2

Scomponi $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ da $3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$ .

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + x^{2} {(3 - x)}^{3} (3 (3 - x))$

Passaggio 2.4.1.3

Scomponi $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ da $x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + x^{2} {(3 - x)}^{3} (3 (3 - x))$ .

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4) + 3 (3 - x))$

Passaggio 2.4.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (- 4 x + 3 (3 - x))$

Passaggio 2.5

Calcola la derivata per $x = 2$ .

${(2)}^{2} {(3 - (2))}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Passaggio 2.6

Semplifica.

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Passaggio 2.6.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {(3 - (2))}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 {(3 - 2)}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Passaggio 2.6.1.3

Sottrai $2$ da $3$ .

$4 \cdot 1^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Passaggio 2.6.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 \cdot 1 (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Passaggio 2.6.1.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Passaggio 2.6.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.6.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$4 (- 8 + 3 (3 - (2)))$

Passaggio 2.6.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 (- 8 + 3 (3 - 2))$

Passaggio 2.6.2.3

Sottrai $2$ da $3$ .

$4 (- 8 + 3 \cdot 1)$

Passaggio 2.6.2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$4 (- 8 + 3)$

Passaggio 2.6.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1

Somma $- 8$ e $3$ .

$4 \cdot - 5$

Passaggio 2.6.3.2

Moltiplica $4$ per $- 5$ .

$- 20$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 20$ e un punto dato $(2, 8)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = - 20 \cdot (x - (2))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 8 = - 20 \cdot (x - 2)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Semplifica $- 20 \cdot (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - 8 = 0 + 0 - 20 \cdot (x - 2)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 8 = - 20 \cdot (x - 2)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 8 = - 20 x - 20 \cdot - 2$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $- 20$ per $- 2$ .

$y - 8 = - 20 x + 40$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 20 x + 40 + 8$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $40$ e $8$ .

$y = - 20 x + 48$

Passaggio 4