Calcolo Esempi

$y = - 3 x^{3} - \sqrt{x} + \frac{2}{x}$ ; $(1, - 2)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = - 2$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{3} - \sqrt{x} + \frac{2}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$- 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

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Passaggio 1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Passaggio 1.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Passaggio 1.3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Passaggio 1.3.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Passaggio 1.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Passaggio 1.3.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Passaggio 1.3.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Passaggio 1.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Passaggio 1.3.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Passaggio 1.3.10

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

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Passaggio 1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- x^{- 2})$

Passaggio 1.4.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{- 2}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.5.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.3

Riordina i termini.

$- 9 x^{2} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.6

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$- 9 {(1)}^{2} - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.7

Semplifica.

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Passaggio 1.7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.7.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 9 \cdot 1 - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.7.1.2

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$- 9 - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.7.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 9 - \frac{2}{1} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.7.1.4

Dividi $2$ per $1$ .

$- 9 - 1 \cdot 2 - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.7.1.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 9 - 2 - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.7.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 9 - 2 - \frac{1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.1.7

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 9 - 2 - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.7.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.2.1

Scrivi $- 9$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 9}{1} - 2 - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.7.2.2

Moltiplica $\frac{- 9}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2 - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.7.2.3

Moltiplica $\frac{- 9}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} - 2 - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.7.2.4

Scrivi $- 2$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.7.2.5

Moltiplica $\frac{- 2}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.7.2.6

Moltiplica $\frac{- 2}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.7.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 9 \cdot 2 - 2 \cdot 2 - 1}{2}$

Passaggio 1.7.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.7.4.1

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$\frac{- 18 - 2 \cdot 2 - 1}{2}$

Passaggio 1.7.4.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{- 18 - 4 - 1}{2}$

Passaggio 1.7.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.7.5.1

Sottrai $4$ da $- 18$ .

$\frac{- 22 - 1}{2}$

Passaggio 1.7.5.2

Sottrai $1$ da $- 22$ .

$\frac{- 23}{2}$

Passaggio 1.7.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{23}{2}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{23}{2}$ e un punto dato $(1, - 2)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = - \frac{23}{2} \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 2 = - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y + 2 = 0 + 0 - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y + 2 = - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + 2 = - \frac{23}{2} x - \frac{23}{2} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.4

$x$ e $\frac{23}{2}$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} - \frac{23}{2} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $- \frac{23}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} + 1 (\frac{23}{2})$

Passaggio 2.3.1.5.2

Moltiplica $\frac{23}{2}$ per $1$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} + \frac{23}{2}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta $23$ alla sinistra di $x$ .

$y + 2 = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} - 2$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 2.3.2.3

$- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23 - 2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23 - 4}{2}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Sottrai $4$ da $23$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{19}{2}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{23}{2} x) + \frac{19}{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{23}{2} x + \frac{19}{2}$

Passaggio 3